ТеФуКоПе: чем голоморфность отличается от моногенности

[Alexiii]

Чем отличаются понятия аналитичности (голоморфности) функции в области от дифференцируемости (моногенности) функции в области?
Понятно,что аналитичность (голоморфность) подразумевает какую-то область,тогда как дифференцируемость (моногенность) может иметь место в отдельных точках.
Большая просьба - ответьте,кто знает,люди добрые!

[Профессор Снэйп]

Но тут же говорится про дифференцируемость в области, а не в отдельных точках!

Насколько я помню, из дифференцируемости в области следует аналитичность. Так что эти понятия задают один и тот же класс функций. Но это теорема, которую надо доказывать! А непосредственно из определений всего лишь следует, что аналитичность влечёт дифференцируемость.

[ewert]

Alexiii писал(а):

Чем отличаются понятия аналитичности (голоморфности) функции в области от дифференцируемости (моногенности) функции в области?
Понятно,что аналитичность (голоморфность) подразумевает какую-то область,тогда как дифференцируемость (моногенность) может иметь место в отдельных точках.
Большая просьба - ответьте,кто знает,люди добрые!

Следующие утверждения эквивалентны:

1). Функция дифференцируема по комплексному аргументу в каждой точке области.

2). Функция дифференцируема по паре вещественных аргументов в каждой точке области, и выполняются условия Коши-Римана.

3). Функция непрерывна, и для неё справедливо утверждение теоремы Коши: интеграл (по комплексной переменной) по любому контуру, стягиваемому в точку, равен нулю.

4). Функция раскладывается в степенной ряд в окрестности каждой точки области.

---------------------------------------------------------------------------
5). С определёнными оговорками -- аналитичность эквивалентна конформности.

[AD]

Думаю, это вопрос скорее методический. Что такое голоморфная функция, все определяют по-разному. Хотя, конечно, все определения эквивалентны.

Ну определения того и другого вы можете привести? Если да, то вопрос не понятен. Если нет, приходите после чтения конспектов (именно ваших, поскольку вопрос методический).

Ну да, "дифференцируемость" определяется для более широких классов отображений (ну то есть не только в этом, как вы его там называете, "ТеФуКоПе") и является "точечным" свойством.

[Alexiii]

Насколько я знаю,голоморфность определена для комплекснозначных функций,тогда как аналитичность - для любых.
Моногенность функции эквивалентна её дифференцируемости в смысле ТФКП.
То есть просто для ТФКП ввели аналогичный дифференцируемости термин (моногенность) и аналогичный аналитичности термин (голоморфность).
Вот, собственно,все,как я понимаю.
А разница меж аналитичностью и дифференцируемостью в том,что второе задает класс шире первого.

[AD]

Alexiii писал(а):

А разница меж аналитичностью и дифференцируемостью в том,что второе задает класс шире первого.

Смотря с какой стороны посмотреть. В ТФКП как раз этот класс оказывается не шире.

[Alexiii]

AD писал(а):

В ТФКП как раз этот класс оказывается не шире.

Как это?

Ведь аналитичность - это дифференцируемость в области!
То есть,где бы мы ни были,аналитичность влечет дифференцируемость.
Можно привести пример функции,дифференцируемой только в одной точке.Из этого следует,что класс все же шире.
$zRe{z}$ не аналитична ни в какой области,но дифференцируема в точке $z=0$.
Наверное,я что-то не так понял,как надо.

[AD]

Еще раз повторяю, смотря с какой стороны посмотреть.

То, что есть понятие "дифференцируемость в точке" - это не класс более широкий, а его определение дается в более общей ситуации.

И вообще, функции типа $zRe{z}$ в ТФКП не изучают.

И вообще, давать четкие опровержения ответов на нечетко сформулированный вопрос неполиткорректно.

[Alexiii]

Все понял,спасибо за ответ!
Выходит,что в ТФКП изучают функции,дифференцируемые хоть в какой-то области.

[ewert]

да. Но дифференцируемые -- исключительно по зет (а не по какой-нибудь там, скажем, зет с чертой).

[Gordmit]

Не совсем понял, исчерпан ли вопрос, поэтому напишу...

Функция $f(z)$, определенная в некоторой окрестности точки $z_0$, называется моногенной в точке $z_0$, если в этой точке существует её производная, т.е. предел

$$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f'(z_0)$$

.

Функция называется моногенной на множестве $G$, если она моногенна в каждой точке множества $G$.

Функция $f(z)$ называется аналитической в точке $z_0$, если она моногенна в некоторой окрестности этой точки.

И, наконец, $f(z)$ называется аналитической на множестве $G$, если она аналитична в каждой точке множества $G$.

Таким образом, из этих определений следует, что в случае, когда множество $G$ есть область (т.е. открытое связное множество), то моногенность $f(z)$ в $G$ равносильна её аналитичности в $G$.

Действительно, пусть $f(z)$ моногенна в $G$ и пусть $z_0\in G$, тогда в силу того, что $G$ - область, т.е. открытое множество, существует окрестность $U(z_0)\subset G$, откуда в силу моногенности $f(z)$ в $G$ следует и моногенность в окрестности $U(z_0)$, т.е. аналитичность в $z_0$. Так как точка $z_0\in G$ - произвольная, то $f(z)$ является аналитической в $G$. Обратно, пусть $f(z)$ аналитическая в $G$, тогда она моногенна в окрестности каждой точки $z_0\in G$, а в частности - в самой этой точке. Отсюда по определению моногенности следует, что $f(z)$ моногенна в $G$.

Добавлено спустя 40 секунд:

А, вот оказывается, что вопрос уже и исчерпан