Вычислить площадь поверхности тела

[Men007]

Вычислить площадь поверхности цилиндра $x^{2}+z^{2}=\alpha ^{2}$, расположенного внутри другого цилиндра $x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}$.

Решение:
Согласно известной формуле имеем:
$S=\int\limits \int\limits_{D} \sqrt{1+(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})^{2}} dx dy$

Следовательно:

$z=f(x,y)= \sqrt{\alpha ^{2}-x^{2}}$

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}= - \frac{x}{\sqrt{\alpha ^{2} - x^{2}}}$

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 0$.

Перейдем к полярной системе координат:
$x=r \cos \varphi $.

Тогда получим:

$S = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{a} \sqrt{1+\frac{ r^{2}(\cos \varphi)^{2}}{\alpha ^2 - r^{2} (\cos \varphi )^{2}}} r dr $

Не могу понять, как решать полученный интеграл. К тому же, я не уверен в правильности составленного интеграла.
Ответ: $S=8 \alpha ^{2}$.

[Metford]

Men007
Вы пару раз при записи повторного интеграла поставили $\alpha$, где не нужно бы - перепроверьте, дичь же. Ещё Вы как-то скромно ничего не сказали об одной частной производной (это я занудствую). И ещё Вы забыли частную производную под корнем оквадратить.

[Men007]

Metford
Всё исправил.

Metford в сообщении #1301009 писал(а):

Вы пару раз при записи повторного интеграла поставили $\alpha$, где не нужно бы - перепроверьте, дичь же.

Я думал, что $\alpha = r$, так как $x^{2}+y^{2} = \alpha ^{2} $ и $x^{2}+y^{2} = r^{2}$

[thething]

Men007
Интеграл Ваш надо бы удвоить, т.к., судя по всему, Вы считаете только одну из частей, а поверхность "цилиндр перпендикулярно в цилиндре" состоит как бэ из двух половинок.. Ну а интеграл посчитайте, сперва приведя к общему знаменателю то, что под корнем, упростив, а потом... вроде уже и не так страшно

[Men007]

thething
У меня получился интеграл:
$a \int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{a} \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}-r^{2} (\cos \varphi)^{2}}} r dr$
И вот я думаю, если $a=r$,то мы получаем расходящийся интеграл:
$\frac{a^{2}}{2}\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{\sin \varphi} d \varphi$
Ну а если нет, то не могу придумать, как можно решить первый интеграл.

[thething]

Men007
Замена $t=\sqrt{a^2-r^2\cos^2\varphi}$ не?

-- 02.04.2018, 19:11 --

Men007 в сообщении #1301169 писал(а):

решить первый интеграл

Все-таки посчитать, или взять

-- 02.04.2018, 20:06 --

Еще мне кажется, что у вас что-то не так с параметризацией. Область $D$ должна быть прямоугольником с дугами окружностей по бокам. Параметры этих дуг надо высчитать, где там эти цилиндры пересекаются

[redicka]

Область верная - круг радиуса $\alpha$

[redicka]

Кстати, в этой задаче незачем применять двойной интеграл, если заметить, что площадь поверхности можно вычислить, используя косинусоиду (синусоиду).
Ответ находится просто и быстро.

[redicka]

Нужно вычислить поверхность такой фигуры:

Учитывая, что при развертывании цилиндра на плоскость, сечения цилиндра, которые представляют собой эллипсы переходят в синусоиды (косинусоиды), то искомую поверхность можно вычислить взяв простой интеграл от косинусоиды с подходящими пределами.

[redicka]

Имеется ввиду-так.
$S$=$4$$\int\limits_{\frac{-a\pi}{2}}^{\frac{a\pi}{2}}$$a$$\cos\frac{t}{a}$$dt$=$8$$\alpha$^2

[Men007]

redicka

redicka в сообщении #1301511 писал(а):

Имеется ввиду-так.
$S=4\int\limits_{\frac{-a\pi}{2}}^{\frac{a\pi}{2}}$$a$$\cos\frac{t}{a}$$dt$=$8$$\alpha$^2$

Отличный метод решения, никогда бы до такого не додумался.
Но задание стоит в теме "Двойные интегралы", поэтому и решать его нужно через двойной интеграл.

redicka в сообщении #1301280 писал(а):

Область верная - круг радиуса $\alpha$

Получается, что я верно составил интеграл, и мне лишь осталось его верно посчитать?

[redicka]

Men007, переход к полярным координатам не облегчает его взятие.
Если возиться - так в декартовых.
Или возьмите этот одинарный через двойной
Это своеобразная замена координат.

[Men007]

redicka
Я не взялся за декартовы, потому что не совсем понимаю, как в таком случае расставлять пределы интегрирования.
В декартовых я пробовал решать так:
Найдем $\frac{1}{4} S$:

$\frac{1}{4} S= \int\limits_{-a}^{a} dx \int\limits_{-a}^{a} \sqrt{1+\frac{x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}$

$\frac{1}{4} S= 2 a^{2} \int\limits_{-a}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx $

$\frac{1}{4} S= 2 a^{2} (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})$

$\frac{1}{4} S= 2 a^{2} \pi$

Следовательно, получим:

$S= 8 a^{2} \pi$.

Однако ответ без $\pi$. Скорей всего, ошибка именно в расставлении пределов интегрирования. Я просто не представляю, каким образом их расставить.

[redicka]

Men007, как-то Вы странно расставляете пределы интегрирования. Если область интегрирования круг, какие будут пределы интегрирования
вне зависимости от подинтегральной функции? И где $dy$ ?