Сумма кубов цифр

[Ktina]

К некоторому числу прибавили его сумму цифр и получили сумму кубов его цифр. Найдите все такие числа.

[kotenok gav]

Пусть наше число состоит из x цифр.
Тогда нам нужно, чтобы не выполнялось следующее неравенство:

$$10^x+1>729x$$

$$10^x\ge 729x$$

$$x\ge 4$$

Осталось перебрать трехзначные, двузначные и однозначные числа.

[gris]

Ага. То есть, типа $0$ или $216$?
Ну и пару четырёхзначных $1999$ и $1899$ придётся проверить.

[Ktina]

kotenok gav
gris
Примечательно, что и само число 216 - тоже куб. Не считая нуля, оно единственное, обладающее свойством, описанным в условии этой задачи.

[kotenok gav]

kotenok gav в сообщении #1300656 писал(а):

Осталось перебрать трехзначные, двузначные и однозначные числа.

Перебрал, получились только 0 и 216.

-- 31 мар 2018, 18:51 --

Ktina в сообщении #1300659 писал(а):

Не считая нуля, оно единственное, обладающее свойством, описанным в условии этой задачи.

Не считая нуля, оно единственное целое в десятичной системе, обладающее свойством, описанным в условии этой задачи.

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1300661 писал(а):

Не считая нуля, оно единственное целое в десятичной системе, обладающее свойством, описанным в условии этой задачи.

Совершенно верно.

[gris]

Вариации: От некоторого числа отняли произведение его цифр и получили сумму кубов его цифр. Пример: $31:31-3\cdot1=28=27+1$
От некоторого числа отняли сумму его цифр и получили сумму кубов его цифр. Пример: $12:12-3\cdot1=9=1+8;30;960$ и, что устрашает,
$666-6-6-6=648=216+216+216$. Испугамшись, я прекращаю исследования.

[Ktina]

gris в сообщении #1300690 писал(а):

Вариации: От некоторого числа отняли произведение его цифр и получили сумму кубов его цифр. Пример: $31:31-3\cdot1=28=27+1$

370, 407, 952... есть ещё?

-- 31.03.2018, 15:40 --

Дальше в уму трудно считать

[gris]

Собственно, выше уже показали, что само число рано или поздно побеждает любые многочлены их цифр с постоянными коэффициентами и показателями степеней. Так что взяв даже сумму четвёртых степеней, должны будем делать ограниченный перебор. Произведение цифр или тетрация из них другое дело

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1300697 писал(а):

370, 407, 952... есть ещё?

Еще 31. Больше нет.

-- 01 апр 2018, 00:24 --

gris в сообщении #1300690 писал(а):

От некоторого числа отняли сумму его цифр и получили сумму кубов его цифр.

12, 30, 666, 870, 960.

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1300707 писал(а):

Ktina в сообщении #1300697 писал(а):

370, 407, 952... есть ещё?

Еще 31. Больше нет.

Откуда у Вас такая уверенность?

[kotenok gav]

Число не может быть более чем четырехзначным. Дальше - перебор.

-- 01 апр 2018, 00:36 --

Число не может быть более чем четырехзначным. Дальше - перебор.