Равномерная сходимость ряда

[free_stud]

Здравствуйте. У меня небольшой вопрос. Дана функция двух переменных $f(z,\alpha)$.
Известно что она аналитична относительно $z$ в круге $|z|<R$ при каждом $\alpha\in D$.
Я могу разложить ее в круге $|z|<R$ в ряд Тейлора $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(\alpha)z^n$. Будет ли этот ряд сходится равномерно по $\alpha$ при фиксированном $z$ ($|z|<R$) в любом замкнутом подмножестве области $D$, если $f(z,\alpha)$ непрерывна в $D$ относительно $\alpha$?
Или для равномерной сходимости нужно требовать аналитичность $f(z,\alpha)$ относительно $\alpha$ в $D$?

Буду признателен любым комментарием, а также наводке на литературу по моему вопросу.

[ex-math]

Достаточно, чтобы $f(z,\alpha)$ была непрерывна как функция двух переменных. Потому что для коэффициентов ряда Тейлора есть неравенства Коши, включающие максимум модуля $f(z,\alpha)$ на некой окружности, который можно ограничить постоянной, не зависящей от $\alpha$.

[free_stud]

ex-math, понял. Оказалось все не сложно. А я уже пытался с коэффициентами возиться. Большое спасибо! А если дана аналитичность $f(z,\alpha)$ еще и относительно $\alpha$ в $D$, то правильно ли я понимаю, что можно производную по $\alpha$ в $D$ находить почленным дифференцированием ряда $f(z,\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(\alpha)z^n$ по $\alpha$, т.е. $\frac{\partial}{\partial\alpha}f(z,\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n^{\prime}(\alpha)z^n$, $|z|<R$, $\alpha\in D$?

[ex-math]

Да, так как ряд равномерно сходится (уже выяснили), а $c_n(\alpha)$ аналитические функции (записываются с помощью формул Коши).

[free_stud]

ex-math, другими словами равномерную сходимость ряда из производных (по $\alpha$) доказывать отдельно не надо?

[ex-math]

Если $c_n(\alpha)$ аналитические, то нет. Это содержание теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций.
Но надо еще доказать аналитичность $c_n(\alpha)$. Но это коэффициенты Тейлора, их можно записать в виде интеграла, включающего $f(z,\alpha)$, а эту функцию представить интегралом Коши, пользуясь ее аналитичностью по $\alpha$. Потом поменять порядок интегрирования.

[free_stud]

ex-math, спасибо большое, Вы мне очень помогли в написании курсовой!