Чьи это теоремы о матрицах обменных курсов?

[Кролик]

Уважаемые специалисты в финансовой математике.
Для фиксированных количеств $n$ базовых активов существует матрица их относительных цен (нотация $i|j$ соответствует прямой котировке!):

$$ \rm K = \left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & \varkappa(1|2) & \cdots & \varkappa(1|i) & \cdots & \varkappa(1|k) & \cdots & \varkappa(1|j) & \cdots & \varkappa(1|n)\\ \varkappa(2|1) & 1 & \cdots & \varkappa(2|i) & \cdots & \varkappa(2|k) & \cdots & \underline{\varkappa(2|j)} & \cdots & \varkappa(2|n) \\ \cdots & \cdots & 1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varkappa(i|1) & \underline{ \varkappa(i|2)} & \cdots & 1 & \cdots & \underbrace{\varkappa(i|k)} & \cdots & \mbox{\fbox{$\varkappa(i|j)$}} & \cdots & \varkappa(i|n) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varkappa(k|1) & \varkappa(k|2) & \cdots & \varkappa(k|i) & \cdots & 1 & \cdots & \underbrace{\varkappa(k|j)} & \cdots & \varkappa(k|n) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varkappa(j|1) & \varkappa(j|2) & \cdots & \varkappa(j|i) & \cdots & \varkappa(j|k) & \cdots & 1 & \cdots & \varkappa(j|n) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varkappa(n|1) & \varkappa(n|2) & \cdots & \varkappa(n|i) & \cdots & \varkappa(n|k) & \cdots & \varkappa(n|j) & \cdots & 1 \end{array}\right) $$

Условие мгновенной сбалансированности на элементы матрицы обменных курсов ${\rm K}(t)$:

$$ \varkappa(i|j,t) \le \varkappa(i|k,t)\,\varkappa(k|j,t)\, ,\qquad\forall t\ge t_0\, , \quad k=1,...,n $$

Условия на весовые коеффиценты при введении условно унифицированной валюты (УУВ):

$$ \sum_{k=1}^{n} w(k) = 1\quad\mbox{и}\quad w(k) > 0\, ,\quad k=1,...,n $$

Метод №1 (Валютный индекс)

$$ \varkappa(*|i,t)=\exp\left(\sum_{j=1}^n w(j)\,\ln\,\varkappa(j|i,t)\right)\, ,\qquad\forall t\ge t_0\, ,\quad i=1,...,n $$

Метод №2 (Расчёты в SDR, первый актив "наиболее авторитетный" в начальный момент времени)

$$ \varkappa_0(*|i,t) = \sum_{j=1}^n w_0(j)\,\varkappa(1|j,t_0)\,\varkappa(j|i,t)\,,\quad t\in[t_0,\,t_1]\, ,\quad i=1,...,n $$

$$ \varkappa_{s}(*|i,t) = \sum_{j=1}^n w_{s}(j)\,\varkappa_{s-1}(*|j,t_{s})\,\varkappa(j|i,t)\,,\quad t\in[t_s,\,t_{s+1}]\, ,\quad i=1,...,n\, ,\quad s=1,2,... $$

Пусть матрица $\Lambda$ содержит натуральные логарифмы элементов матрицы ${\rm K}$, тогда на её главной диагонали стоят нули и выполняются следующие линейные неравенства:

$$ \lambda(i|j,t) \le \lambda(i|k,t) + \lambda(k|j,t)\, ,\qquad\forall t\ge t_0\, , \quad k=1,...,n\; , \quad k\ne i\, ,\quad k\ne j\, . $$

\begin{theorem}{\bf Терема 1} (об общем решении СЛАУ)\label{L_T} \ \ Пусть $A\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ некоторая квадратная матрица ($n\ge 2$), элементы которой удовлетворяют $n^3$ линейным ограничениям: \begin{eqnarray} \displaystyle && a_{ik} + a_{kj} - a_{ij} = 0 \quad i,\, j,\, k=1,...,n\; , \label{restrictions} \end{eqnarray} тогда существуют числа $t_1,\, ...,\, t_{n-1}$ и матрицы $B^{(1)},\, ...,\, B^{(n-1)}\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ такие, что \begin{eqnarray} \displaystyle && A = \sum_{k=1}^{n-1} t_k\, B^{(k)} \; , \label{c_solution} \end{eqnarray} причём матрицы $\{B^{(k)}\}_{k=1}^{n-1}$ выбираются из линейной оболочки матриц $\{\Theta^{(k)}\}_{k=1}^n$ так, чтобы выполнялись условия линейной независимости: \begin{eqnarray} \displaystyle && \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k\, B^{(k)} = O \quad\Rightarrow\quad\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k^2 = 0 \; , \label{lin_undep} \end{eqnarray} где элементы постоянных матриц $\{\Theta^{(k)}\}_{k=1}^n$ определяются через символы Кронекера: \begin{eqnarray} \displaystyle && \theta_{ij}^{(k)} = \delta_i^k - \delta_j^k\quad i,\, j,\, k=1,...,n\; . \label{G_Matrix} \end{eqnarray} \end{theorem}

\setcounter{equation}{4}\begin{theorem}{\bf Терема 2} (Следствие)\label{S_T} \ \ Пусть $G\in{\rm I \! R}^{n^3\times n^2}$ матрица линейных ограничений (1) на переменные $\{a_{ij}\}_{i,j=1}^n$ ($n\ge 2$), тогда \begin{eqnarray} \displaystyle && {\rm rank}(G) = n^2 - n + 1\; . \label{Rank} \end{eqnarray} \end{theorem}

Таким образом система ограничений (1) оставляет в квадратной матрице $A$ ровно $n-1$ степеней свободы, что как раз на единицу меньше числа базовых активов.

\setcounter{equation}{5}\begin{theorem}{\bf Терема 3} (Слейтера)\label{T_T} \ \ При $n\ge 2$ существует квадратная матрица $A^{(0)}\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ с нулями на главной диагонали такая, что её элементы удовлетворяют $n^2\,(n-1)/2$ неравенствам: \begin{eqnarray} \displaystyle && a_{ik}^{(0)} + a_{kj}^{(0)} - a_{ij}^{(0)} > 0 \quad i,\, j,\, k=1,...,n\; , \quad k\ne i\, ,\quad k\ne j\, . \label{Sleyter} \end{eqnarray} \end{theorem}

Из последней теоремы следует существование строго сбалансированных рынков, когда прямой обмен базовыми активами выгоднее любого другого (более сложного) пути обмена.

ВОПРОС: Кем впервые были сформулированы и доказаны эти 3 теоремы? Существует ли конкретная литературная ссылка?

[g______d]

Если это чем-то поможет, то все три теоремы мне кажутся абсолютно тривиальными, если я правильно понял формулировки.

Если заданы условия (1), то вся матрица однозначно восстанавливается по первой строке (при этом первый элемент этой строки обязан быть нулём, остальные какими угодно). Действительно, используя уравнения (1) c $i=j$, восстановим первый столбец, а потом восстановим все остальные элементы, используя те же уравнения с $k=1$.

Поскольку условия линейные, любая такая матрица является комбинацией базисных матриц, которые построены так: поставим единицу на какую-то позицию в первой строке, остальные элементы первой строки нулевые, все остальные элементы восстановим, используя процедуру из предыдущего пункта. Это и будут матрицы (4).

Что касается теоремы 3, то можно просто взять любую матрицу с условиями (1) и прибавить $\varepsilon>0$ ко всем внедиагональным элементам. Тогда правая часть каждого из уравнений (1) увеличится на $\varepsilon$.

[Кролик]

g______d в сообщении #1298653 писал(а):

Если это чем-то поможет, то все три теоремы мне кажутся абсолютно тривиальными, если я правильно понял формулировки.

-- Спасибо за ответ. Вы всё правильно поняли и здорово написали. Нетривиальным является только тот факт, что для идеального рынка все ограничения баланса на логарифм матрицы обменных курсов укладываются в СЛАУ (1). Не надо требовать отдельно нулевой диагонали в $\Lambda(t)$, не надо требовать, чтобы стоящие на её сопряжённых местах элементы были равны по модулю и противоположны по знаку, не надо требовать отдельно, чтобы цепочки обмена длинной 3 и выше не приводили к прибыли или убытку, не надо проверять, что в матрице ${\rm K(t)}$ останется ровно столько степеней свободы, сколько и должно быть от природы, чтобы управлять мгновенным обменом между $n$ различными активами. Система ограничений (1) стройна, полна и неизбыточна!
Как Вы правильно заметили, теоремы не вызывают трудности с доказательствами (путь доказательства последней теоремы указан Вами в целом верно, хотя чуть-чуть неполно). Вопрос заключается скорее в дидактике: формулировал ли кто-то ранее подобные теоремы (с набросками их несложных доказательств)? Есть ли хоть один учебник/монография по экономике или финансовой математике, на что можно полноценно сослаться?
Прежде чем обратиться в форум, я проверил основную литературу, но ничего подобного не нашёл, а это странно....

[g______d]

Кролик в сообщении #1298672 писал(а):

Система ограничений (1) стройна, полна и неизбыточна!

Ну с точки зрения линейной алгебры она как раз избыточна, потому что из этих $n^3$ уравнений только $n^2-n+1$ независимых.

А по существу ответа на вопрос о ссылках не знаю.

[Кролик]

g______d в сообщении #1298680 писал(а):

Кролик в сообщении #1298672 писал(а):

Система ограничений (1) стройна, полна и неизбыточна!

Ну с точки зрения линейной алгебры она как раз избыточна, потому что из этих $n^3$ уравнений только $n^2-n+1$ независимых.

-- Корректно. Неизбыточность ограничений имеется при частичном возвращении от равенств (1) к нестрогим неравенствам (условия на элементы $\Lambda(t)$, которые чуть выше). Кроме того, я не знаю, как дописать недостающие $n^2-n+1-n(n+1)/2$ линейных уравнений. Это вообще отдельный и интересный вопрос... (А Вы говорите: тут всё абсолютно тривиально!)

[g______d]

Кролик в сообщении #1298687 писал(а):

Кроме того, я не знаю, как дописать недостающие $n^2-n+1-n(n+1)/2$ линейных уравнений. Это вообще отдельный и интересный вопрос... (А Вы говорите: тут всё абсолютно тривиально!)

В чём именно вопрос, можно более точно?

Независимые уравнения (1) легко указать. Нужно взять те, в которых $k=1$, $i>1$, $j>1$, $i\neq j$. Это $(n-1)^2-(n-1)=n^2-3n+2$. Добавить $n$ уравнений, в которых $i=j=k$. И добавить $n-1$ уравнение, в которых $i=j=1$, $k\neq 1$. Вроде и получается сколько нужно. Почему этих уравнений достаточно -- первая группа гарантирует, что всё, кроме первых строки и столбца и диагонали выражается через них. Вторая группа гарантирует нули на диагонали. Третья группа гарантирует антисимметричность (которую достаточно обеспечить только для первой строки и столбца).

[dsge]

Кролик в сообщении #1298672 писал(а):

Вопрос заключается скорее в дидактике: формулировал ли кто-то ранее подобные теоремы (с набросками их несложных доказательств)? Есть ли хоть один учебник/монография по экономике или финансовой математике, на что можно полноценно сослаться?

С экономической точки зрения это довольно тривиальный факт. Зная только курсы валют по отношению к одной из них, скажем к доллару, при отсутствии арбитража можно вывести курсы между любой валютной парой.

[Кролик]

Большое спасибо всем за участие в дискуссии!

dsge в сообщении #1298752 писал(а):

С экономической точки зрения это довольно тривиальный факт. Зная только курсы валют по отношению к одной из них, скажем к доллару, при отсутствии арбитража можно вывести курсы между любой валютной парой.

-- К сожалению, это распространённое заблуждение. Точнее, утверждение истинно, но только для идеального рынка валют. Поэтому, в стартовом топике, я не хотел писать слово "валюта" вообще, а написал "базовый актив", помня, что суточные валютные курсы устанавливаются национальным центробанками по отношению к доллару США. Базовым активом может быть однако и доллар США, но это может быть и унция золотоа, или серебра, или баррель нефти, или литр 70%-ого спирта, или единица площади недвижимости в Багдаде или Каире (города, которые будут стоять и существовать ещё тысячелетия...). Рынок во все стороны свободный, активы торгуются открыто на международной бирже. Мгновенная цена покупки актива не равна цене его продажи ($\lambda(i|j,t)+\lambda(j|i,t)\ne 0$, ну, хотя бы это...).

[upgrade]

Кролик
Можете привести матрицу в виде чисел для трех активов?
Пусть имеется 100 литров бензина, 100 килограмм стали и 100 долларов.

[Кролик]

upgrade в сообщении #1298773 писал(а):

Пусть имеется 100 литров бензина ($i=2$), 100 килограмм стали ($i=3$) и 100 долларов ($i=1$).

Почему на ценовых мониторах "международной биржи" в какой-то момент времени $t$ не могут возникнуть показатели, имплицирующие следующую матрицу обменных курсов для занумерованных выше активов (их количества условные)?

$$ {\rm K}^{(3\times 3)}(t) = \left(\begin{array}{ccc} 1\,\mbox{(\$ за \$)} & 1/3\,\mbox{(литров за \$)} & 1/7\,\mbox{(кило за \$ )}\\ 4\,\mbox{(\$ за литр)} & 1\,\mbox{(литров за литр)} & 1\,\mbox{(кило за литр)}\\ 9\,\mbox{(\$ за кило)} & 2\,\mbox{(литров за кило)} & 1\,\mbox{(кило за кило)} \end{array}\right) $$

Какие законы теории финансов будут при этом нарушены?

[upgrade]

Почему я не вижу в матрице 100 кг стали, 100 долларов и 100 литров бензина?

[dsge]

Кролик в сообщении #1298813 писал(а):

Какие законы теории финансов будут при этом нарушены?

Вы покупаете за 100 долларов $100/3$ литров бензина и сразу продаете, получив $400/3$ долларов и заработав ничем не рискуя 33.33 долларов. На фьючерсном рынке это произойдет за доли секунды.

[Кролик]

dsge в сообщении #1298825 писал(а):

Кролик в сообщении #1298813 писал(а):

Какие законы теории финансов будут при этом нарушены?

Вы покупаете за 100 долларов $100/3$ литров бензина и сразу продаете, получив $400/3$ долларов и заработав ничем не рискуя 33.33 долларов.

-- Мне очень жаль, но Вы неправильно считали предложенную выше матрицу ${\rm K}^{(3\times 3)}(t)$, что привело к ошибочным рассуждениям. В стартовом топике я намеренно предупредил, что нотации (и позиции в матрице) соответствуют прямой котировке! За 100$ я могу купить только 25 литров бензина...

[upgrade]

Кролик
А если так:
Пусть имеется три актива
1. $100$ долларов
2. $100$ долларов
3. $100$ долларов
то

Кролик в сообщении #1298828 писал(а):

За 100 долларов я могу купить только 25 долларов...

?

[dsge]

Кролик в сообщении #1298828 писал(а):

За 100$ я могу купить только 25 литров бензина

Какая разница? Продали 1 л безина за 4 доллара и сразу выкупили за 3, в остатке 1 доллар