Вероятность поломки двух HDD

[melnikoff]

У нас есть 2 новых жестких диска.
Вероятность выхода из строя нового жесткого диска в первые 3 года работы равна 0,08.
Вероятностное распределение выхода диска из строя от отработанных дней равномерное. Чему равна вероятность того, что оба диска в первые 3 года работы выйдут из строя, а интервал между моментами их поломки будет меньше полных 7 суток?

Как подступиться? Если бы мы точно знали, что оба диска выйдут из строя в первые 3 года работы, то задача бы решалась через геометрическую вероятность (задача аналогична задаче о встрече): $P=\frac{(3\cdot 365)^2-(3\cdot 365 - 7)^2}{(3\cdot 365)^2}=0,0127.$
Но как модифицировать это решение к данному условию?

[warlock66613]

Применить понятие условной вероятности и формулу $P(A \cap B) = P(A | B) P(B)$?

[melnikoff]

B_n – "1-й диск вылетел в n-й день",
A_n – "2-й диск вылетел в любой день от n-7 до n+7".
И в итоге будет 365*3 слагаемых. Так?

Пусть p – вероятность того, что диск вылетит в n-й день.
Тогда
$P(A_1 \cap B_1) = P(A _1| B_1) P(B_1) = 8p^2$,
$P(A_2 \cap B_2) = P(A _2| B_2) P(B_2) = 9p^2$,
...
$P(A_7 \cap B_7) = P(A _7| B_7) P(B_7) = 14p^2$,
$P(A_n \cap B_n) = P(A _n| B_n) P(B_n) = 15p^2$, при $7<n<365\cdot 3 - 7\cdot2$.
В итоге искомая вероятность равна
$P=2\cdot(8p^2+9p^2+10p^2+11p^2+12p^2+13p^2+14p^2)+(365\cdot 3 - 2\cdot 7)15p^2 = 16 359p^2 = 16 359(\frac{0.08}{365\cdot 3})^2=8.7\cdot 10^{-5}.$
Правильно?

[warlock66613]

Ну, я имел в виду что-то вроде $A$ — интервал между моментами поломки будет меньше полных 7 суток, $B$ — оба диска в первые 3 года работы выйдут из строя.

[gris]

melnikoff, а почему Вы не учли, что в этих трёх годах может быть високосный? Решение правильное, но можно было бы и обойтись без этих подробностей на краях такого длинного интервала. И я бы поспорил насчёт $15$. Мне кажется, всё же $14$.
А ещё бы я сказал, что в реальной жизни так не бывает. Если диски установлены в один компьютер и используются одинаково, и ни с одним из них ничего не случилось во время первых ста часов работы, то умрут они скорее всего от чисто внешних причин, а причины эти подействуют на оба диска То есть реальная вероятность будет ненамного меньше $0.08$.

[upgrade]

(Оффтоп)

Я бы узнавал вероятность выхода из строя в течение семи дней каждого и её возводил в квадрат.

[melnikoff]

gris, а можно решить эту задачу иначе?

[gris]

Если обозначить $n(=3\cdot365)\gg m(=7);p(=0.08)$, то Вы получили (без краевых уточнений) формулу
$P=n\cdot (2m+1)\cdot\left(\dfrac { p}{n}\right)^2$. То есть суммирование условных вероятностей поломки второго диска в нужном интервале при условии поломки первого диска в конкретный день. Если немного сократить, то получим формулу условной вероятности поломки второго диска в нужном интервале при условии поломки первого диска в течении трёх лет:
$P=\dfrac { (2m+1)\cdot p}{n}\cdot p$.
Можно геометрически, с уже предложенным warlock66613 умножением полученного Вами результата на вероятность поломки двух дисков за три года: $0.0127\cdot (0.08)^2=8.128E-5$, что, кстати, более равно значению формулы $P=\dfrac { 2m\cdot p^2}{n}$ при интервале в 14 дней. Геометрический метод учитывает и краевые дела, и момент поломки с абсолютной точностью, а не с точностью до дня.
Можно численно на модели:

n=3*365*24; m=7*24; p=0.08;
k=10000000; j=0; r=m/n;
for (i = 0; i < k; i++){
   if (random()<p){ if (random()<p) 
            {if (abs(random()-random())<r){j++}}}
}
p=j/k;  trace(p);

0.000084

[melnikoff]

gris, спасибо!

[upgrade]

gris в сообщении #1298266 писал(а):

То есть суммирование условных вероятностей поломки второго диска в нужном интервале при условии поломки первого диска в конкретный день.

А можно, исходя из условия задачи "Вероятностное распределение выхода диска из строя от отработанных дней равномерное", сперва найти вероятность поломки одного в один из семи дней в течение трех лет и затем найти вероятность поломки обоих в эти семь дней?:
$P_7=7\cdot 0,08/(365 \cdot 3)=0,0005$
Это один
Оба, соответственно:
$0,0005^2$

[gris]

upgrade, Вы нашли вероятность того, что диск сломается в один из заранее выбранных семи дней, не обязательно идущих подряд. Ну пусть идут подряд. Таких недель сто шестьдесят за три года. Какую выберете? Окончательно Вы нашли вероятность того, что в заранее выбранную неделю умрут оба диска. Конечно, события удовлетворяют условию, но не исчерпывают все варианты. Поэтому вероятность очень маленькая. Хотя, если умножить на количество недель, то получим около $0.00004$, что означает вероятность поломки двух дисков в одну и ту же календарную неделю. Но первый диск может умереть в субботу выбранной недели, а второй в среду следующей. Между печальными событиями пять дней, но в Вашей модели это не учитывается.

[upgrade]

gris в сообщении #1298310 писал(а):

Вы нашли вероятность того, что диск сломается в один из заранее выбранных семи дней, не обязательно идущих подряд

Т.е. когда я разбиваю три года на интервалы по семь дней и ищу вероятность поломки внутри этих интервалов - это неверное вычисление, например, я не могу найти вероятность поломки не в течение одного дня за $3$ года, а в течение $3000$ лет, умножив вероятность за три года на $1000$. Понятно, спасибо.

-- 19.03.2018, 14:12 --

Чтобы узнать вероятность поломки за $300$ лет надо сделать так $1-(1-0,08)^{100}=0,99976$
Чтобы узнать вероятность поломки за $7$ дней (раньше я думал что это идущие подряд $7$ дней), по аналогии, надо сделать так: $0,08=1-(1-x)^{365 \cdot 3/7}$ откуда $x=0,000532891$
И снова хочется возвести в квадрат...