О выборе распределения случайных графов

[rishelie]

Удалось доказать следующее. В классической задаче, где ребра появляются случайным образом в пустом графе с вероятностью $q=1-p$
при $np^n\to\alpha$ предельное распределение количества компонент связности имеет вид распределения Пуассона с параметром \alpha:

$$P\{X_n=s\}\to\frac{\alpha^{s-1}}{(s-1)!}e^{-\alpha}$$

для $s=1,2,\dots$

Соотношение остается справедливым при $\alpha=0$ и, в частности, при фиксированном $p<1$.

В классической задаче вероятность графа с $n$ вершинами, $s$ компонентами и $k$ ребрами выражается как количество таких графов, умноженное на $(q/p)^kp^{n(n-1)/2}$.

В исходной задаче этой ветки форума происходит обратный процесс: ребра исчезают с вероятностью $p$. Поэтому вероятность графа с $n$ вершинами, $s$ компонентами и $k$ ребрами выражается как количество таких графов, умноженное на $(q/p)^kp^{n(n-1)/2}$, т.е. сформулированное выше утверждение остается справедливым при $np^n\to\alpha$, где $p$ --- вероятность исчезновения ребра.

[rishelie]

Есть по теме еще пара интересных результатов:
(1) При $np^n\to \infty$ так, что $p^n\to 0$, имеет место асимптотика моментов для каждого фиксированного $s$:

$$EX_n^s=(np^n)^s(1+o(1))$$

(2) При $p^n\to e^{-a}$ ($a\geq 0$) имеет место асимптотика моментов для каждого фиксированного $s$:

$$EX_n^s=\left(\frac na\beta(ae^{-a})\right)^s(1+o(1)),$$

где

$$\beta(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k^{k-2}}{k!}x^k.$$

К сожалению, результат не тянет на статью (в хорошем смысле), так что сослаться пока не на что. Если вдруг получатся более развернутые результаты, оформленные статьей, непременно поделюсь ими в теме.
Неформально рассуждая, можно в целом отметить, что количество компонент в графе $G(n,p)$ подчиняется закону Пуассона во всех зонах изменения параметров (n,p), и, как следствие, должно возникать нормальное распределение в центральной зоне (1).

PS. Странно, что я этих результатов не нашел ни у Колчина Валентина Федоровича, ни у Райгородского, ни где-либо еще. Может, плохо искал?
PPS. Обозначения здесь у нас непривычные зафиксировались. Я бы предпочел через $p$ обозначать вероятность возникновения ребра, а через $q=1-p$ - вероятность исчезновения.

[rishelie]

В 10-летие своего пребывания на форуме решил выложить подготовленную статью по данной теме.
К сожалению, опубликовать не удалось, получил следующий ответ рецензента:

Цитата:

Здравствуйте, Николай Игоревич!

Наш рецензент написал, что результаты из Вашей статьи просты и, вероятно,
следуют из теорем Боллобаша и Колчина.
Он рекомкндовал ее отклонить.

К сожалению, мы приняли решение статью не публиковать.

Ваш,
Н.Г. Мощевитин.

Ключевое слово здесь - "вероятно". Думаю, что просто недействующих математиков не принято публиковать) Ну и ладно.

Посему выкладываю сей труд под правами CC0, т.е. вообще без претензий на права. Разрешаю делать с ними что угодно, в том числе извлекать коммерческую выгоду.
Может, кому-то будет интересно попробовать вывести эти результаты из результатов Валентина Федоровича (Колчина) или Боллобаша. Я не смог)

PS. Есть текст на английском, если потребуется.

[pogulyat_vyshel]

Не являюсь экспертом по данному вопросу, замечу только, что причин отклонения статьи может быть много, начиная от тех, что указаны в рецензии (кстати, в приличных журналах рецензию отправляют автору) и заканчивая тем, что журнал по просту блатной. Ваша "рецензия" выглядит именно так. Вам намекнули, что надо ссылаться на правильных людей
Пошлите статью в международный журнал. http://www.mathontheweb.org/mathweb/mi-journals5.html

[maxal]

rishelie в сообщении #1298061 писал(а):

Может, кому-то будет интересно попробовать вывести эти результаты из результатов Валентина Федоровича (Колчина) или Боллобаша. Я не смог)

Тогда имеет смысл явно обсудить результаты Колчина и Боллобаша, и указать отличия ваших результатов от их. То есть, заранее снять аргумент о выводимости одних из других.
И вообще, не стоит опускать руки лишь после одной негативной рецензии. Рассматривайте её как руководство к дальнейшему улучшению статьи и переподачи в другой журнал. Отказы в публикации в профессинальной среде случаются сплошь и рядом, и они вовсе не означают, что отвергнутую статью нужно немедленно отправлять на помойку.

А английский вариант рекомендую разместить на arxiv.org в виде препринта (что часто служит и цитируется не хуже опубликованной работы).