Теоремы Гёделя.

[Eric Avagyan]

Anton_Peplov,к сожалению ваш ответ мне не понятен.Но за ответ благодарю.
Но благодаря вашему ответу я таки решил не включать этот момент туда.
И да,я ведь ясно выразился,по крайнем мере,как мне показалось.Я не изучаю математическую логику,поэтому особо вдаваться в подробности касательно теорем Гёделя я не собираюсь.Я изучаю традиционную логику,и как раз перед тем как непосредственно приступить к изучению этой науки,я стал изучать её историю.
Но благодаря вашему ответу я таки решил не включать этот момент туда.
-- 17.03.2018, 21:43 --

Xaositect,благодарю за ответ.В принципе это единственный однозначный ответ на поставленные вопросы. Всё было достаточно понятно,однако как и следовало ожидать,чтобы достаточно хорошо и полно понять что из себя представляют эти теоремы,хоть и на поверхностном уровне,необходимо изучить саму мат-логику.

-- 17.03.2018, 21:51 --

epros,спасибо за достаточно ёмкий ответ,однако даже я,профан в этой теме довольно скептически отношусь к данному высказыванию о том,что теорема исключает надежды физиков на построение "теории всего".
Это уже что-то в стиле доказательства несуществования бога и с помощью "теоремы Гёделя",хотя никакого отношения она к подобным областям не имеет.

-- 17.03.2018, 21:55 --

george66,и снова спасибо за ответ.Насколько я понимаю,моё предположение о том,что под богатством формальной системы подразумевается количество выводимых в её рамках утверждений верно?

[eugensk]

Теперь сожалею, что не ответил в теме. Остался в итоге без рецензии ((

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1297946 писал(а):

Это Вы про множественность моделей?

Нет. Это я про то, что математики не занимаются построением теорий первого порядка, и какое отношение эти теории имеют к математике как виду человеческой деятельности — вопрос не решённый. Н. Вавилов про это говорит, и не только он.

Но про множественность моделей, впрочем, тоже. Мы знаем, что арифметика Пеано неполна, но имеет ли этот результат какое-либо отношение к неформальной (содержательной) арифметике? Я не знаю. А вы знаете?

[george66]

Нет, дело не в количестве выводимых (доказуемых) утверждений, а в количестве утверждений, которые вообще можно высказать. Есть такая теория "арифметика Робинсона". Это некий минимум знаний о натуральных числах. В ней можно доказывать числовые равенства вроде $6\times 7=42$ , но нельзя доказать почти никаких общих фактов вроде коммутативности сложения. Причём, утвеждение "сложение коммутативно"записать можно
$\forall n\forall m (n+m=m+n)$
но доказать нельзя (нет почти никаких аксиом в этой теории, ничего не доказывается). Тем не менее, для этой теории верна теорема Гёделя. А вот в элементарной геометрии можно доказать много чего (о точках, прямых и плоскостях), но о натуральных числах говорить вообще нельзя и к ней теорема Гёделя не применима. Доказательство теоремы Гёделя в начинается так: нумеруем все формулы теории (и истинные, и ложные, вообще все) натуральными числами. Теперь мы можем "внутри" теории говорить о свойствах её формул (вот тут и надо, чтобы в теории можно было говорить о натуральных числах).

[mihaild]

warlock66613 в сообщении #1297979 писал(а):

математики не занимаются построением теорий первого порядка, и какое отношение эти теории имеют к математике как виду человеческой деятельности — вопрос не решённый

Все утверждения и доказательства, с которыми я сталкивался (в частности все, входящие в программу мехмата), формализуются в ZF.

Но всё равно непонятно, почему невозможность получить что-то определенными синтаксическими манипуляциями, должно волновать физиков. Им кажется важно, что мы этими манипуляциями не можем получить ничего совсем странного.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно оформлены цитаты.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[warlock66613]

mihaild в сообщении #1297987 писал(а):

Все утверждения и доказательства, с которыми я сталкивался (в частности все, входящие в программу мехмата), формализуются в ZF.

Видимо, я чего-то не понимаю. Вот есть статья о формализации матанализа: Sylvie Boldo, Catherine Lelay, Guilliame Melquiond. Formalization of Real Analysis: A Survey of Proof Assistants and Libraries. В ней среди рассматриваемых систем только одна — ACL2 — основана на логике первого порядка, и уже способ, который там используется, чтобы определить вещественные числа, совершенно не похож на методы, используемые при обычном изложении, поскольку использует нестандартный анализ.

[mihaild]

Я, возможно, неправильно сформулировал - в этой статье рассматриваются теории с сигнатурой анализа, а я имел в виду (довольно тривиальное) утверждение, что теорему "непрерывная на отрезке функция достигает своего максимума" можно преобразовать в утверждение в сигнатуре $\{\in,=\}$ - "для любого множества $\langle \mathbb{R}, +, \cdot\rangle$, такого что на нем выполнены нужные аксиомы, для любого множества $X$, являющегося непрерывной функцией $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\ldots$", и вывести получившееся утверждение из аксиом $ZF$. Разумеется, получившийся текст будет нечитаем и мало кому нужен.

(а утверждение "что-то там выводится в таком-то исчислении" для всех используемых на практике исчислений вообще формулируется и доказывается [если истинно] даже в арифметике)

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1297987 писал(а):

Все утверждения и доказательства, с которыми я сталкивался (в частности все, входящие в программу мехмата), формализуются в ZF.

Буковку "С" не забыли?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1298599 писал(а):

Буковку "С" не забыли?

Нет, ее по месту добавлять можно.