неч функции лин оператор

[pogulyat_vyshel]

Это очень простая задача :)


Пусть $A(t):\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n,\quad m>n$ -- матрица линейного оператора, компоненты матрицы являются непрерывными $\omega-$периодическими, четными функциями в $\mathbb{R}$. При всех $t$ $\mathrm{rank}\,A(t)=n$.

Через $X$ обозначим пространство непрерывных нечетных $\omega-$ периодических функций на $\mathbb{R}$. Доказать, что $u(t)\mapsto A(t)u(t)$ есть отображение пространства $X^m$ на пространство $X^n$.

[DeBill]

Нечетность образа очевидна. Обратно:
Максимальность ранга гарантирует: у каждой точки $t_0$ из окружности $S=\mathbb{R} /\omega $ есть окрестность, на которой определена непрерывная правая обратная к нашей матрице (ненулевость минора в точке влечет его ненулевость и в ейной окрестности). Покрывая окружность конечным числом построенных интервалов, и используя подходящие срезающие функции, из построенных локально-обратных соорудим глобально-обратную (правую) $ D(t)=A(t)^{-1}$, определенную уже на всей окружности. Половина суммы $D(t)+ D(-t)$ даст искомую четную (правую) обратную. Поэтому наше отображение - сюръективно.

(Оффтоп)

Но, сдается мне, ТС хотел услушать что-то ну уж совсем простое, вроде: тривиальность коцикла, отвечающего за существование глобальных поднятий сечений для отображения расслоений над окружностью с одинаковой структурной группой $\mathbb{Z}_2$, очевидна....

[pogulyat_vyshel]

я хотел услышать про разбиение единицы, и, похоже, именно это и услышал ;)