Аналитическая функция с асимптотикой на бесконечности, имеющ

[Asalex]

Пусть функция $f(z)$ аналитична во всей комплексной плоскости, и на бесконечности имеет равномерную оценку

$$|f(z)|\leq |\mathrm{e}^{-z^{3/2}}|,\quad z\to\infty.$$

Доказать что функция $f(z)$ равна тождественно 0.

Попытка решения:

1) Понятно, что поскольку функция аналитична во всей комплексной плоскости, у нее нет разреза, то оценка через разрывную функцию (с разрезом) выглядит немного странно.

2) Если взять целую функцию типа функции Эйри, которая имеет асимптотический ряд на бесконечности, за исключением окрестности отрицательной вещественной полупрямой, то похоже что это контрпример к задаче, так как второй дополнительный асимптотический ряд, который появляется в окрестности отрицательной полуоси, оценивается через первый асимптотический ряд.

$$|Ai(z)|\leq \frac{C}{|z^{1/4}|} |e^{-\frac23z^{3/2}}|.$$

3) Если теперь вместо той задачи, что я сформулировал вначале, добавить еще степенное убывание,

$$|f(z)|\leq \frac{C}{|z|^{1/2}}|\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}z^{3/2}}|,\quad z\to\infty,$$

то рассмотрев отношение

$$g(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{Ai(z)}$$

я не приду к какому-то выводу, так как функция Эйри имеет нули на отрицательной полуоси. (и асимптотика в виде одного асиптотического ряда не выполняется равномерно).

Вопрос: что делать при степенном убывании. Хочется доказать что хотя бы здесь функция будет 0 везде.

Дифференцируя функцию Эйри, мы получаем множитель $\sqrt{z}$ в асимптотике.
Наверное, беря первообразную функции Эйри, мы наоборот на этот множитель делим. Проделав так достаточно много раз, можно получить сколь угодно малый полиномиальный множитель.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, уточните формулировку вопроса: по какому параметру оценка равномерна? Если это $\arg z$, то тождественность нулю являтся следствием отсутствия нулей и представления Адамара целой функции конечного порядка.

Цитата:

Понятно, что поскольку функция аналитична во всей комплексной плоскости, у нее нет разреза, то оценка через разрывную функцию (с разрезом) выглядит немного странно.

Не вижу ничего странного: модуль этой однозначной ветки непрерывен во всей комлексной плоскости.

[Markiyan Hirnyk]

Выше должно быть "... отсутствия изолированных нулей и ...", иначе высказывание противоречиво.

[DeBill]

Asalex в сообщении #1297620 писал(а):

и на бесконечности имеет равномерную оценку

Функция в правой части - неоднозначна. О какой из ее ветвей (и где) идет речь? Без такой конкретизации, ничего сказать нельзя.

[Markiyan Hirnyk]

DeBill

Цитата:

Функция в правой части - неоднозначна. О какой из ее ветвей (и где) идет речь? Без такой конкретизации, ничего сказать нельзя.

Можно. Для любого разреза от $0$ до бесконечности и для любого выбора однозначной ветви в комплексной плоскости с этим разрезом выполнены неравенства $\left|e^{-z^{\frac 3 2}}\right| \le e^{|z|^{\frac 3 2}}$ и $\left|e^{-z^{\frac 3 2}}\right| \ge e^{-|z|^{\frac 3 2}}.$