Массовые ошибки в док-ве простого школьного факта?

[Oleg_Nikolaevi4]

Здравствуйте! Вижу в интернете кучу доказательств свойства средней линии треугольника (о том, что она параллельна основанию), где доказательство начинается с того, что через середину стороны проводят прямую параллельную другой стороне, по сути доказывая признак средней линии, но ведь это в корне неверно, нужно ведь доказать именно свойство, а не признак. Это меня переклинило ближе к ночи или действительно массовые ошибки?

-- 13.03.2018, 00:48 --

Примеры https://blitztest.ru/predmety/geometriya/geometriya-8-klass/srednyaya-liniya-treugolnika-i-eyo-svoystvo-dokazatelstvo

http://mathus.ru/math/sredlin.pdf

[url]https://yandex.ru/images/search?p=1&text=доказательство%20свойства%20средней%20линии%20треугольника&img_url=https%3A%2F%2Fds04.infourok.ru%2Fuploads%2Fex%2F03cd%2F000bc39c-b437e9c8%2Fimg5.jpg&pos=78&rpt=simage&lr=2[/url]

[mihaild]

Существует линия, проходящая через середину одной стороны и параллельная основанию, и она проходит и через середину другой - так что является средней линией. Т.к. средняя линия только одна, то она параллельна основанию.

[Oleg_Nikolaevi4]

mihaild в сообщении #1297086 писал(а):

Существует линия, проходящая через середину одной стороны и параллельная основанию, и она проходит и через середину другой - так что является средней линией. Т.к. средняя линия только одна, то она параллельна основанию.

Так в том-то и проблема, что если мы рассматриваем какую-то линию, которая параллельна основанию, а после рассуждений она оказывается средний, то это доказательство признака.
Если мы рассматриваем среднюю линию, зная, что это средняя линия, а после рассуждений получаем, что она параллельна основанию, то это мы доказали свойство.
То есть признак, это когда схема такая (если убрать детали):
1) Такая схема - доказательство признака: Некая линия || основанию ?=>? средняя линия.
2) Такая схема - доказательство свойства: Некая линия является средней ?=>? эта линия || основанию

Если не очень понятна мысль, проиллюстрирую на другом примере:
Признак: Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Свойство Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам

То есть, доказывая признак мы должны доказать, что если четырехугольник обладает свойством, то это признак пар-ма.

Доказывая свойство, мы уже можем опираться на тот факт, что четырехугольник -- параллелограмм, а доказывая признак -- не имеем права. Иначе, чем в данной ситуации признак отличается от свойства?

Точно также, доказывая свойство параллельности средней линии мы не можем исходить из того, что уже допустим это свершилось и уже есть параллельность.

[Dan B-Yallay]

Oleg_Nikolaevi4 в сообщении #1297096 писал(а):

Точно также, доказывая свойство параллельности средней линии мы не можем исходить из того, что уже допустим это свершилось и уже есть параллельность.

А этого и не делают. Сначала просто проводят через точку прямую, параллельную основанию. Она существует и единственна в силу аксиомы, это всё что пока о ней известно. А далее, вследствие теоремы Фалеса, эта линия еще и оказывается средней.

[Skeptic]

Oleg_Nikolaevi4 в сообщении #1297084 писал(а):

Это меня переклинило ближе к ночи или действительно массовые ошибки?

Распространённое доказательство основано на свойствах параллельных линий в треугольнике, т.е. непрямое доказательство. Но оно оказалось наглядным и коротким.
Прямое доказательство должно исходить только из определения средней линии треугольника, не приписывая ей предварительно никаких свойств. Возможно ли такое?

[Xaositect]

Skeptic в сообщении #1297113 писал(а):

Распространённое доказательство основано на свойствах параллельных линий в треугольнике, т.е. непрямое доказательство. Но оно оказалось наглядным и коротким.
Прямое доказательство должно исходить только из определения средней линии треугольника, не приписывая ей предварительно никаких свойств. Возможно ли такое?

Непонятно, что Вы имеете в виду под "приписыванием свойств". Мы рассматриваем среднюю линию и параллельную прямую, и доказываем, что они равны.
Можете привести пример доказательства параллельности (не для средней линии, а вообще), в котором нет "приписывания свойств"?

[mihaild]

Oleg_Nikolaevi4 в сообщении #1297096 писал(а):

Так в том-то и проблема, что если мы рассматриваем какую-то линию, которая параллельна основанию, а после рассуждений она оказывается средний, то это доказательство признака.

Мы тут пользуемся еще тем, что средняя линия единственна, и что параллельная основанию линия тоже единственна.
Пусть $A$ - множество всех линий, параллельных основанию, $B$ - множество всех средних линий. Мы доказали, что $A \subseteq B$. А еще мы знаем, что $|A| = |B|$ и $A$ конечно. Из этого уже следует, что $A = B$, т.е. в том числе всякая средняя линия параллельна основанию.

[thething]

Oleg_Nikolaevi4 в сообщении #1297084 писал(а):

Вижу в интернете кучу доказательств свойства средней линии треугольника (о том, что она параллельна основанию), где доказательство начинается с того, что через середину стороны проводят прямую параллельную другой стороне, по сути доказывая признак средней линии

Может я чего-то недопонял, но я не вижу логического круга. По определению средняя линия треугольника -- это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Проведем этот отрезок, тогда легко доказываем, что большой треугольник подобен маленькому с коэффициентом $\frac{1}{2}$ (по пропорциональным сторонам и углу между ними). Но тогда, т.к. соответственные углы в подобных треугольниках равны, по признаку параллельности прямых получаем, что средняя линия параллельна третьей стороне. А благодаря коэффициенту подобия говорим, что равна ее половине. Т.е. зачем в начале доказательства вообще говорить, что мы проводим что-то параллельно?