Интересный ряд

[Alexander Evnin]

На IX Открытой олимпиаде Белорусско-Российского университета предлагалась следующая задача:
найти сумму рядa

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{4^n((n-1)!)^2}{(2n)!}.$$

Никто из участников олимпиады её не решил.

Wolframalpha подсказывает, что

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n((n-1)!)^2}{(2n)!}=2\arcsin^2(\sqrt{x}/2).$$

Интересно, что если мы рассмотрим (на отрезке $[0;4]$) функцию $y=f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n((n-1)!)^2}{(2n)!}$,
то обратная к ней имеет простое разложение в степенной ряд:

$$x=4\sin^2(\sqrt{y}/2)=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}y^n}{(2n)!}.$$

Это служило бы ключом к решению, если бы можно было (технически просто) по данному степенному ряду
найти ряд для обратной функции...

[mihiv]

Функция $F(x)=f(x^2)$ разлагается в ряд $F(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {x^{2n}((n-1)!)^2}{(2n)!}.$ и удовлетворяет ДУ:

$$F''=1+\frac x2\left (\frac x2F'\right )'$$

Решение этого уравнения: $F(x)=2\arcsin ^2(\frac x2).$ Числовой ряд равен: $F(2)=\frac {\pi ^2}2$.