2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересный ряд
Сообщение05.03.2018, 03:34 
Аватара пользователя


31/10/11
91
Челябинск
На IX Открытой олимпиаде Белорусско-Российского университета предлагалась следующая задача:
найти сумму рядa $$\sum_{n=1}^\infty\frac{4^n((n-1)!)^2}{(2n)!}.$$
Никто из участников олимпиады её не решил.

Wolframalpha подсказывает, что $$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n((n-1)!)^2}{(2n)!}=2\arcsin^2(\sqrt{x}/2).$$

Интересно, что если мы рассмотрим (на отрезке $[0;4]$) функцию $y=f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n((n-1)!)^2}{(2n)!}$,
то обратная к ней имеет простое разложение в степенной ряд: $$x=4\sin^2(\sqrt{y}/2)=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}y^n}{(2n)!}.$$
Это служило бы ключом к решению, если бы можно было (технически просто) по данному степенному ряду
найти ряд для обратной функции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный ряд
Сообщение07.03.2018, 14:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1329
москва
Функция $F(x)=f(x^2)$ разлагается в ряд $F(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {x^{2n}((n-1)!)^2}{(2n)!}.$ и удовлетворяет ДУ:$$F''=1+\frac x2\left (\frac x2F'\right )'$$Решение этого уравнения: $F(x)=2\arcsin ^2(\frac x2).$ Числовой ряд равен: $F(2)=\frac {\pi ^2}2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group