Про количество различных простых делителей

[Ktina]

Пусть $C(n)$ - количество различных простых делителей числа $n$. Например, $C(12)=2$.

Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел $(a, b)$, что

$$ \begin{cases} a\ne b \\ C(a+b)=C(a)+C(b)\\ C(a-b)=C(a)-C(b) \end{cases} $$

?

[waxtep]

(Оффтоп)

$b=2^n,a=b+2^{n+8}$

[kotenok gav]

waxtep, у вас получается, что 2=3+1.

[Shadow]

$a=2^{n+2},b=2^n$

[waxtep]

kotenok gav в сообщении #1295270 писал(а):

waxtep, у вас получается, что 2=3+1.

Разве? Вроде бы, десять раз перепроверил, что $C(a)=2,C(a+b)=3$

[Shadow]

Мое решение неверно, второе условие неправильно интерпретировал.

[kotenok gav]

waxtep в сообщении #1295283 писал(а):

что $C(a)=2,C(a+b)=3$

Наоборот, $C(a)=3,C(a+b)=2$.
Shadow, а у вас 1=1-1. А, вы уже написали.

[Shadow]

Решение waxtep правильное.

$a=257\cdot 2^n,b=2^n$

$C(a)=2,C(b)=1$

[kotenok gav]

А, ой, я ошибся, мне показалось, что $2^8=512$.

[Ktina]

А вот мой вариант: при достаточно больших простых $p>13$ годятся все пары вида $(65p, p)$

[Руст]

Выберем такое с, что $C(c+1)]]\ge C(c)\ge C(c-1)$. Не сложно доказать, что таких с бесконечно много.
Эти числа почти взаимно простые. точнее только c+1,c-1 могут иметь общий делитель 2 при нечетных c. Пусть $p_1,...,p_k$ простые делители c, $q_1,...q_l$ простые делители с, $r_1,...,r_m$ простые делители $c+1$ и $k\le l\le m$. Если $m-k-(k-l)=n>0$, то берем $n$ простых делителей числа $c+1$ и $k-l$ простых чисел, отличных
от перечисленных ранее. Тогда произвольное число $b$, такое что $rad(b)$ состоит из этих простых годится в качестве $b$ и парой к нему будет $a=cb$.
Аналогично рассматривается случай $k-l-(m-k)=n>0$.

Если $C(c-1),C(c),C(c+1)$ образуют арифметическую прогрессию с разницей k $(n=0)$, то в качестве b можно взять любое число с k различными простыми делителями, отличными от указанного списка.