2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про количество различных простых делителей
Сообщение02.03.2018, 23:09 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пусть $C(n)$ - количество различных простых делителей числа $n$. Например, $C(12)=2$.

Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел $(a, b)$, что
$$
\begin{cases}
a\ne b \\
C(a+b)=C(a)+C(b)\\
C(a-b)=C(a)-C(b)
\end{cases}
$$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 01:21 
Аватара пользователя


07/01/16
1654
Аязьма

(Оффтоп)

$b=2^n,a=b+2^{n+8}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 02:58 


21/05/16
4292
Аделаида
waxtep, у вас получается, что 2=3+1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 09:44 


26/08/11
2149
$a=2^{n+2},b=2^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 09:48 
Аватара пользователя


07/01/16
1654
Аязьма
kotenok gav в сообщении #1295270 писал(а):
waxtep, у вас получается, что 2=3+1.
Разве? Вроде бы, десять раз перепроверил, что $C(a)=2,C(a+b)=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 10:13 


26/08/11
2149
Мое решение неверно, второе условие неправильно интерпретировал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 10:14 


21/05/16
4292
Аделаида
waxtep в сообщении #1295283 писал(а):
что $C(a)=2,C(a+b)=3$

Наоборот, $C(a)=3,C(a+b)=2$.
Shadow, а у вас 1=1-1. А, вы уже написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 10:18 


26/08/11
2149
Решение waxtep правильное.

$a=257\cdot 2^n,b=2^n$

$C(a)=2,C(b)=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 10:32 


21/05/16
4292
Аделаида
А, ой, я ошибся, мне показалось, что $2^8=512$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 11:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
А вот мой вариант: при достаточно больших простых $p>13$ годятся все пары вида $(65p, p)$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Про количество различных простых делителей
Сообщение03.03.2018, 20:46 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Выберем такое с, что $C(c+1)]]\ge C(c)\ge C(c-1)$. Не сложно доказать, что таких с бесконечно много.
Эти числа почти взаимно простые. точнее только c+1,c-1 могут иметь общий делитель 2 при нечетных c. Пусть $p_1,...,p_k$ простые делители c, $q_1,...q_l$ простые делители с, $r_1,...,r_m$ простые делители $c+1$ и $k\le l\le m$. Если $m-k-(k-l)=n>0$, то берем $n$ простых делителей числа $c+1$ и $k-l$ простых чисел, отличных
от перечисленных ранее. Тогда произвольное число $b$, такое что $rad(b)$ состоит из этих простых годится в качестве $b$ и парой к нему будет $a=cb$.
Аналогично рассматривается случай $k-l-(m-k)=n>0$.

Если $C(c-1),C(c),C(c+1)$ образуют арифметическую прогрессию с разницей k $(n=0)$, то в качестве b можно взять любое число с k различными простыми делителями, отличными от указанного списка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group