Знакопеременные ряда

[NSUmath]

$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$. Исследовать на сходимость.
Пробовал признак Дирихле и Лейбница, не удаётся вытащить монотонно стремящуюся к 0 последовательность, так же не помогает разбиение на чётные/нечётные слагаемые получается неопределённость вида бесконечность - бесконечность. Может нужно домножить на сопряжённое? Но тогда не очень понятно что делать с получившемся. Натолкните на какую - нибудь мысль :)

[vpb]

Разумно использовать (подумайте, как?) то, что $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ очень близко к $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$.

-- 03.03.2018, 01:23 --

P.S. Это я слегка соврал. Там сразу решения по такому методу не получится. Потом надо будет еще раз тот же трюк применить. Думайте, короче.

[thething]

Домножить на сопряженное -- хорошая идея, потом разбить на две суммы и посмотреть каждую поотдельности. Когда поймете, какой будет ответ, останется только строго обосновать его (предлагаю переходом к частичным суммам).
P.S. Хороший пример, показывающий, что перед применением признаков надо озаботится вопросом возможности их применения

[Brukvalub]

Используйте разложение $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-1/n+O(n^{-3/2}).$

[Gagarin1968]

Brukvalub
Мелковато, плохо видно. Вот так, по-моему, лучше: $\displaystyle \large \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-1/n+O(n^{-3/2})$

[NSUmath]

Gagarin1968 в сообщении #1295277 писал(а):

Brukvalub
Мелковато, плохо видно. Вот так, по-моему, лучше: $\displaystyle \large \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-1/n+O(n^{-3/2})$

Спасибо, невнимательно смотрел, после домножения на сопряжённое, всё оказалось просто) ряд расходится!

[ewert]

NSUmath в сообщении #1295266 писал(а):

так же не помогает разбиение на чётные/нечётные слагаемые получается неопределённость вида бесконечность - бесконечность.

Потому что надо не разбивать, а, наоборот, объединять попарно.Суммы соседних пар ведут себя достаточно очевидным образом, и это довольно-таки общий приём.