Возможные комбинации кварков

[watmann]

Здравствуйте.

Задача: сколько барионов можно составить из 1,2,3,4,5,6 разных кварков не учитывая их спиновое состояние. Найдите общую формулу.

Задание простое, но никак не могу понять какая общая формула получается.

1 кварк: uuu
2 кварка: uuu, ddd, uud, udd
3 кварка: uuu, ddd, uud, udd, sss, uss, suu, dss, sdd, uds
4 кварка: uuu, ddd, uud, udd, sss, uss, suu, dss, sdd, uds, ccc, ucc, dcc, scc, cuu, cdd, css, usc, dsc, udc
5 кварков: uuu, ddd, uud, udd, sss, uss, suu, dss, sdd, uds, ccc, ucc, dcc, scc, cuu, cdd, css, usc, dsc, udc, bbb, ubb, dbb, cbb, sbb, buu, bdd, bcc, bss, ubd, usb, dsb, ucb, dcb, csb
6 кварков: uuu, ddd, uud, udd, sss, uss, suu, dss, sdd, uds, ccc, ucc, dcc, scc, cuu, cdd, css, usc, dsc, udc, bbb, ubb, dbb, cbb, sbb, buu, bdd, bcc, bss, ubd, usb, dsb, ucb, dcb, csb, ttt, utt, dtt, stt, ctt, btt, tuu, tdd, tss, tcc, tbb, udt, ust, ubt, uct, dbt, dst, dct, cst, cbt, sbt.

+антибарионы
(Заметка: это игрушечное задание, поэтому адроны c t могут существовать)

В итоге получается (вместе с антибарионами):
1 кварк: 2
2 кварка: 8
3 кварка: 20
4 кварка: 40
5 кварков: 70
6 кварков: 112

И вот тут найти какую-либо адекватную зависимость становится труднее.
Апроксимация полиномом дала: $\frac{n^3+3n^2+2n}{3}$, но откуда она должна взяться из логических соображений я не знаю.

Спасибо за помощь.

[Xaositect]

Это называется "сочетания с повторениями", посмотрите где-нибудь.

[Munin]

Обычно это представляют себе так:
- 2 кварка: располагают варианты вдоль отрезка;
- 3 кварка: располагают варианты в виде треугольника (заполненного);
- 4 кварка: располагают варианты в виде тетраэдра;
- 5 и 6 кварков: в виде соответствующих тетраэдров в 4- и 5-мерном пространстве (другие названия "гипертетраэдр", "симплекс").

Соответственно, между числами вариантов имеются такие соотношения:

$1$
$4=1+1+1+1$
$10=4+3+2+1$
$20=10+6+3+1$
$35=20+10+4+1$
$56=35+15+5+1$

Может быть, они помогут вам в рассуждениях. Я бы сказал, что общая формула должна быть степенной, а не полиномиальной.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1293088 писал(а):

Я бы сказал, что общая формула должна быть степенной, а не полиномиальной.

Формула в первом сообщении правильная. Она будет экспоненциальной по количеству выбираемых элементов, а не по количеству вариантов.

[kotenok gav]

watmann в сообщении #1293064 писал(а):

Апроксимация полиномом дала: $\frac{n^3+3n^2+2n}{3}$, но откуда она должна взяться из логических соображений я не знаю.

$$\frac{n^3+3n^2+2n}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2\frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}=2C^{n-1}_{n+2}$
Двойка из-за антибарионов, а остальное думайте сами...

[Munin]

Xaositect в сообщении #1293090 писал(а):

Формула в первом сообщении правильная.

Да, верно.

-- 18.02.2018 22:13:54 --

Xaositect в сообщении #1293090 писал(а):

Она будет экспоненциальной по количеству выбираемых элементов, а не по количеству вариантов.

А это я чего-то не понял, что здесь "элементы"?

[Xaositect]

Munin в сообщении #1293143 писал(а):

А это я чего-то не понял, что здесь "элементы"?

Я имел в виду, сколько кварков выбирать. Три кварка - кубический многочлен, 6 кварков - шестая степень :)

[Munin]

А что, объём $n$-мерного симплекса не экспоненциален по $n$?

-- 18.02.2018 22:32:38 --

Интересно.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Симплекс :

Цитата:

Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен ${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}}.$

Хромает у меня интуиция, хромает... Даже если домножить на $\ell^n,$ то факториал любую степень перешибёт.

-- 18.02.2018 22:35:07 --

Спасибо, поучительно!

[physicsworks]

Полезно также (на будущее) знать диаграммы Юнга. Попросите вашего профессора об этом рассказать, если в программе нету.