Обручи

[pogulyat_vyshel]

https://d.radikal.ru/d24/1802/27/e4a58103f517.png

Обруч массы $M$ радиуса $R$ подвешен в вертикальной плоскости так, что может свободно вращаться вокруг оси, проходящей через его центр $O$ перпендикулярно плоскости рисунка. Внутри этого обруча может кататься без проскальзывания малый обруч массы $m$ радиуса $r$.
В начальный момент времени малый обруч отведен на угол $\alpha$ (см рисунок) и система покоится. Потом систему отпускают и предоставляют самой себе. На какую максимальную высоту поднимется центр $S$ малого обруча, после того, как система придет в движение под действием силы тяжести?

[fred1996]

В этой задаче только сила трения закручивает оба обруча. Значит их угловые скорости (моменты импульса) строго пропорциональны. Значит в момент, когда они оба имеют нулевую скорость, и поступательная скорость малого обруча нулевая. То есть в этот момент кинетическая энергия равна нулю. Значит малый обруч находится в этот момент на максимальной (изначальной) высоте. Ну а вообще-то при отклонении на угол $\varphi$ и угол $-\varphi$ силы трения равны и закручивают обручи в противоположные направления. То есть получается симметричное строго перодическое колебание системы. Из закона сохранения энергии можно даже легко сосчитать угловые скорости и поступательную скорость малого обруча для любого угла отклонения $\varphi$

[pogulyat_vyshel]

угу

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1292500 писал(а):

угу

Возможно, имеет смысл большой обруч не прибить в центре, а подвесить за центр на ниточке.

[pogulyat_vyshel]

EUgeneUS в сообщении #1292503 писал(а):

имеет смысл большой обруч не прибить в центре, а подвесить за центр на ниточке

наверняка неинтегрируемая задача получится

[EUgeneUS]

или прибить большой обруч гвоздем в верхней точке.

[fred1996]

pogulyat_vyshel в сообщении #1292500 писал(а):

угу

Жалко. А я надеялся на подвох.

Кстати, тут на днях пришла в голову задачка. И тоже с двумя обручами (сферами).
По наклонной плоскости скатываются две пустотелые сферы одна в другой. Найти период малых полебаний.

-- 14.02.2018, 10:07 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1292505 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1292503 писал(а):

имеет смысл большой обруч не прибить в центре, а подвесить за центр на ниточке

наверняка неинтегрируемая задача получится

Аксиома.
Для малых колебаний все интегрируется!

[fred1996]

EUgeneUS в сообщении #1292514 писал(а):

или прибить большой обруч гвоздем в верхней точке.

Я бы предложил такой вариант:
В нижней точке скорость ЦТ малого обруча $v$, и угловые скорости вращения обоих обручей совпадают. То есть в системе отсчета крутящегося большого обруча малый обруч покоится.
Найти максимальную высоту подъема ЦТ малого обруча.

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1292542 писал(а):

Я бы предложил такой вариант:
В нижней точке скорость ЦТ малого обруча $v$, и угловые скорости вращения обоих обручей совпадают. То есть в системе отсчета крутящегося большого обруча малый обруч покоится.
Найти максимальную высоту подъема ЦТ малого обруча.

Оказалось, задачка вполне содержательная.

(мой ответ)

h=$\frac12\frac{mR^2+2MR^2+Mr^2-2mrR-4MrR}{(m+M)(R-r)^2}\frac{V^2}{g}$

[pogulyat_vyshel]

EUgeneUS в сообщении #1292514 писал(а):

или прибить большой обруч гвоздем в верхней точке

тоже самое: наверняка неинтегрируема

fred1996 в сообщении #1292515 писал(а):

Аксиома.
Для малых колебаний все интегрируется!

спасибо, кэп. Только что может быть интересного в линейных системах?