Число обусловленности матрицы

[AlexIvanov]

Помогите понять - почему всюду говорят только лишь о том, что если обусловленность выше, скажем, 10 в четвертой степени, то матрица плохо обусловлена. Но я вижу, что произведение норм матрицы (прямой и обратной) всегда пропорционально N в квадрате. Но этого же недостаточно. Что же получается? Чем более точно мы хотим решать СЛАУ, тем выше берем N. И что - всегда наступает естественный тупик относительно "эпсилон машинного"? Ведь чем выше желаемая точность, тем больше и число обусловленность? И что тогда делать, если хочется считать СЛАУ до 20-го знака? Спец-библиотеки использовать, у которых эпсилон начинается, условно говоря, от 100-го знака? Помогите понять это!! Спасибо!!

[mihaild]

Что вы понимаете под $N$? Размер матрицы? Тогда

AlexIvanov в сообщении #1291613 писал(а):

произведение норм матрицы (прямой и обратной) всегда пропорционально N в квадрате

неверно, как и

AlexIvanov в сообщении #1291613 писал(а):

Чем более точно мы хотим решать СЛАУ, тем выше берем N

[AlexIvanov]

Да, похоже я сильно неправ. Похоже, что произведение нормы А на норму А в минус первой степени всегда безразмерно относительно размерности СЛАУ. Я проверил - если в любой невырожденной квадратной матрицы А "вынести" N (просто разделить на размерность все элементы матрицы), то обратная обновленной матрицы будет тождественна произведению обратной исходной матрицы А на 1/N. Поэтому похоже что число обусловленности вроде бы не зависит от размерности матрицы? Но я такого прямого утверждения нигде не находил. Потому и тупанул. Словом, верен ли вывод о том, что число обусловленности не зависит о размерности матрицы?

[mihaild]

Вы кажется говорите о чем-то очень странном. Уже у матрицы $2\times 2$ число обусловленности может быть любым, с размером это никак не связано. Если вы говорите про какое-то семейство матриц, параметризованное размером - то уточните, о каком.

[AlexIvanov]

Извините... Думал, что "это" - стандартная ситуация. Тогда немного текста. Как везде говорят: ЧОМ СЛАУ (конд) - это, по сути, критерий устойчивости всей мат-модели, которая сводится к СЛАУ. Но ведь в подавляющем большинстве моделей размерность матрицы прямо определяет точность результата. Это ж как правило число итераций (число дискретизации модели и т.п.). И чем выше "эн", тем большее число устойчивых значащих цифр ожидается у результата решения СЛАУ для хорошо обусловленных моделей. Вот я и спросил - а нет ли тут противоречия? Но сам вижу, что прямого вроде бы нет. Конд зависит не прямо от эн или тем более эн в квадрате, а видимо именно что от "состава" матрицы. Как я думал на первый взгляд - норма это ж макс сумма строк или столбцов, а значит же пропорциональна эн, а произведение их тем более. Но проверка показала, что в произведении норм прямой и обратной строго получается "эн/эн" - т.е. прямой зависимости нет. Теперь осталось понять - если имеем серию матриц от хорошо обусловленной модели (скажем, при эн = 10000 конд равен около 500 - 700), а при эн = 20000, конд = 1200. Но при этом явно видна тенденция к росту, пусть и не пропорциональному. Вопрос - каков будет конд при эн = 10 000 000 ? Видите ли, СЛАУ мы в проекте обрабатываем параллельно на кластере на 200 узлов. И решение однозначно устойчиво. А конд получить параллельно лень. Искренне - сильная лень. Да и не факт, что 200 узлов хватит. А чужие проги ставить на кластер и обмениваться терабайтными матрицами - еще большая лень. Но все равно - нам же нужны гарантии, что начиная с какого то эн не происходит резкое ухудшение обусловленности. Да очень сложно самим вычислять на таких оборотах конд - распараллеливать нудный алгоритм получения обратной матрицы - сильная лень... И вот я никак не могу найти в литературе, а что говорит теория конда СЛАУ по поводу медленного роста конда при росте эн для хорошо обусловленных моделей? Какова скорость роста конда - как ее на практике оценить? Ну и вообще об обеспечении гарантий "вблизи" высоких значений точности от "больших" матриц - хотя бы в 15м знаке точности, если эпсилон для С++ - 19 знаков. Есть ли гарантия того, что конд от А при эн = 10 000 000 и более не превысит 4 знака, если для этой же модели конд для 20 000 составляет 1200 - 1500? Как это оценить косвенно? Знаю, что есть еще и "индекс" обусловленности - число через минимальное и максимальное собственное число. Его получить значительно проще. Но как он согласован с общеизвестным "нормовым" кондом на таких оборотах"? Помогите найти такую литературу. Спс!!

[Munin]

Скажите прямо: вы получаете СЛАУ дискретизацией ОДУ/ДУЧП? В этом случае об обусловленности можно сказать что-то более конкретное.

[Евгений Машеров]

AlexIvanov в сообщении #1291613 писал(а):

Но я вижу, что произведение норм матрицы (прямой и обратной) всегда пропорционально N в квадрате.

Не обязательно. Найдите число обусловленности единичной матрицы.

-- 12 фев 2018, 16:15 --

AlexIvanov в сообщении #1291613 писал(а):

Чем более точно мы хотим решать СЛАУ, тем выше берем N

Если мы решаем СЛАУ, то размерность нам уже задана. Возможно, Вы имели в виду "мы дискретизуем задачу, сводя к решению СЛАУ, и чем меньше шаг, тем больше размерность СЛАУ"?

-- 12 фев 2018, 16:16 --

AlexIvanov в сообщении #1291613 писал(а):

И что тогда делать, если хочется считать СЛАУ до 20-го знака? Спец-библиотеки использовать, у которых эпсилон начинается, условно говоря, от 100-го знака?

Иногда - повышенная точность с соответствующими библиотеками, чаще - регуляризация.