Несобственный интеграл и интеграл Римана

[jdex]

Доброго времени суток!

Есть небольшое упражнение из трёхтомника Кудрявцева:

Цитата:

Если несобственный интеграл от функции, определенной на отрезке, абсолютно сходится, то он просто сходится. Интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. Следовательно, если существует интеграл Римана от абсолютной величины функции, то существует и интеграл Римана от самой функции. Это неверно (привести соответствующий пример!). Где ошибка в проведенном рассуждении?

Контрпример мне удалось придумать. Это модификация функции Дирихле:

$$ y(x)=\begin{cases} -1&\text{если $x$ иррационально,}\\ 1&\text{если $x$ рационально} \end{cases}$$

А вот с нахождением ошибки в рассуждениях — здесь у меня ступор. Буду благодарен даже за намек, где искать?

[g______d]

jdex в сообщении #1286594 писал(а):

Буду благодарен даже за намек, где искать?

В первом предложении. Посмотрите, где и как это доказывается. Предполагается ли там что-то дополнительное неявно?

[jdex]

g______d в сообщении #1286596 писал(а):

jdex в сообщении #1286594 писал(а):

Буду благодарен даже за намек, где искать?

В первом предложении. Посмотрите, где и как это доказывается. Предполагается ли там что-то дополнительное неявно?

Спасибо за ваш ответ!

Если я правильно понял, то неявно предполагается, что функция интегрируема по Риману на любом отрезке, чего в нашем случае нет. Следовательно, мы не можем считать, что интеграл от функции абсолютно сходится.

[ewert]

jdex в сообщении #1286594 писал(а):

Цитата:

Если несобственный интеграл от функции, определенной на отрезке, абсолютно сходится, то он просто сходится. Интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. Следовательно, если существует интеграл Римана от абсолютной величины функции, то существует и интеграл Римана от самой функции. Это неверно (привести соответствующий пример!). Где ошибка в проведенном рассуждении?

А вот с нахождением ошибки в рассуждениях — здесь у меня ступор. Буду благодарен даже за намек, где искать?

Ошибка -- в самой формулировке утверждения. Интеграл Римана не является частным случаем несобственного. Контрпример же, естественно, правильный (и так же естественно не имеет отношения к делу).

[jdex]

ewert в сообщении #1287957 писал(а):

Ошибка -- в самой формулировке утверждения. Интеграл Римана не является частным случаем несобственного. Контрпример же, естественно, правильный (и так же естественно не имеет отношения к делу).

Могу допустить, что формулировка задачи исходит из способа подачи материала Кудрявцевым, или я возможно что-то недопонимаю. Цитирую:

Цитата:

Если $b$ конечно, а функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$, то в силу непрерывности интеграла (свойство 9 в п. 24.1) предел $\lim_{\eta\to b}\int\limits_{a}^{\eta}f(x)dx, a\leqslant\eta<b$, существует и равен интегралу $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$. Taким образом, интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла.

Я думаю (но возможно ошибаюсь), что здесь все-таки ошибка, на которую намекал g______d. В определении абсолютно сходящегося несобственного интеграла неявно предполагается, что подинтегральная функция интегрируема по Риману на любом отрезке. При переходе от несобственного интеграла к собственному в задаче это неявное допущение автор опустил. Отсюда и неверное утверждение: "...если существует интеграл Римана от абсолютной величины функции, то существует и интеграл Римана от самой функции". Но сама формулировка теоремы несобственного интеграла: "Если интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится", -- для собственного интеграла не имеет смысла ввиду ее очевидности.