Система уравнений

[TR63]

Someone в сообщении #1291158 писал(а):

одно из решений имеет кратность $>1$, и в одном $x<0$

Binar в сообщении #1290959 писал(а):

Помогите решить систему уравнений:

$$\begin{cases}z + 2 = (3-y)^3\\ (2x-z)(z+2) = 9 +4z\text{ при }x\geqslant 0\\ y^2 + x^2 = 4y\end{cases}$$

Someone, поусловию $x\ge0$.


$y^2-4y+x^2=0$

$4-x^2\ge0$

$0\le x\le2$

Из второго уравнения $x\ge2$

$x\ge0$

[Binar]

TR63 в сообщении #1291137 писал(а):

Надо найти область определения переменной (x) (используя дискриминант) из второго и третьего уравнения исходной системы. Получится одна общая точка.

Очень хорошая идея! У задачи появилось решение!

А) Рассмотрим третье уравнение системы:

1) $y^2 + x^2 = 4y
2) $y^2 - 4y + x^2 = 0
3) $y^2 - 4y + 4+ x^2 = 4
4) $(y-2)^2 + x^2 = 4

Конечное уравнение представляет собой уравнение окружности, радиусом 2 , центр которой смещён на две ед. вверх по оси OY,
значит областью определения функции $y(x) является отрезок $[-2;2].

Б) Рассмотрим второе уравнение системы:

1) $(2x - z)(z + 2) = 9 + 4z
2) $2xz + 4x - z^2 -2z = 9 + 4z
3) $z^2 + 2z(3 - x) - 4x + 9 = 0

Найдём область опредиления функции $z(x) через дискриминант:

$D(1) = (3 - x)^2 - (9 - 4x) \geqslant 0
$9 - 6x + x^2 - 9 + 4x \geqslant 0
$x^2 - 2x \geqslant 0

Конечное уравнение представляет собой уравнение параболы, ветви которой идут вверх и нулями в точках $x=0 ; x=2, значит область определения функции $z(x) является отрезок $(-\infty;0]$\cup[2;\infty)$.

В) Найдём общие точки находя общую часть условия $x\geqslant0 (начальное условие), $x$ $\in$ $[-2;2] и $x$ $\in$ $(-\infty;0]$\cup[2;\infty)$
Итого имеются две общие точки: $x = 0 и x = 2.

Г) Подставив значения, можно найти значения остальных переменных

$x = 0$ $y = 4$ $z= -3$
$x = 2$ $y = 2$ $z= -1$

Всё верно?

[thething]

Binar
Хорошее решение, чисто "школьное")) (в хорошем смысле этого слова)
Только надо говорить не "объединив", а "находя общую часть"

[Binar]

Всем спасибо за помощь! :

thething в сообщении #1291195 писал(а):

Binar
Только надо говорить не "объединив", а "находя общую часть"

Спасибо, учту

[Someone]

Binar в сообщении #1291192 писал(а):

Всё верно?

Там $y$ и $z$ определялись из квадратных уравнений. Куда делись другие корни этих уравнений? Решение нужно дополнить соответствующими объяснениями.
Но метод мне нравится.

Binar в сообщении #1291203 писал(а):

Спасибо, учту

В теории множеств соответствующие операции называются "объединение" и "пересечение". То, что Вы делаете, называется пересечением множеств.

TR63 в сообщении #1291182 писал(а):

по условию $x\ge0$

Да, это существенно. Я просто не вник прошлый раз.

[Pphantom]

Markiyan Hirnyk, во избежание очередного повторения одной и той же ситуации:
1) Месячный бан за очередную рекламу матпакетов в теме, в которой это очевидно неуместно.
2) Вам запрещается приводить результаты, полученные с использованием математических пакетов, в темах, в которых автор темы явно не упомянул, что решение такого рода допустимо.