Система уравнений

[Binar]

Помогите решить систему уравнений:

$$\begin{cases}z + 2 = (3-y)^3\\ (2x-z)(z+2) = 9 +4z\text{ при }x\geqslant 0\\ y^2 + x^2 = 4y\end{cases}$$

Эта система мне попалась на одной олимпиаде.
При решении не было особо много идей.
Все до чего я мог догадаться это ввести части уравнений 3 и 2 в полный квадрат, в надежде, что что - то подставиться и решиться:

Второе уравнение:

1) $(2x-z)(z+2) = 9z + 4 $ при $x\geqslant0$
2) $2xz + 4x -z^2 - 2z = 9 + 4z $
3) $2xz + 4x = z^2 + 6z+9 $
4) $2x(z +2) = (z+3)^2 $

Третье уравнение:

1) $y^2 + x^2 = 4y$
2) $y^2 -4y= -x^2$
3) $y^2 - 4y+ 4 = 4 - x^2$
4) $(y-2)^2= 4 - x^2

На этом прогресс остановился

Остальные решения я не стану публиковать, так как считаю их не информативными.

Возможно эта система решается "на прямую", то есть выразить каждую переменную через решение квадратного и кубического уравнений, но я уверен есть другой способ.

Формулы доисправлял. Но в следующий раз будете "сидеть" в Карантине до полного исправления.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Jnrty]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: Вернул из Карантина.

[Someone]

Binar в сообщении #1290959 писал(а):

Возможно эта система решается "на прямую", то есть выразить каждую переменную через решение квадратного и кубического уравнений

Примерно так, но всё-таки проще: выразите $z$ через $y$ из первого уравнения и подставьте во второе; затем выразите $x$ через $y$ из второго уравнения и подставьте в третье. Каждый раз старательно разлагайте на множители всё, что разлагается. После второй подстановки, внимательно присмотревшись, можно ухитриться увидеть пару корней. Потом надо будет доказать, что других решений с неотрицательным $x$ нет.

[thething]

Binar
Я бы Ваш способ совсем не отметал, например, из

Binar в сообщении #1290959 писал(а):

4) $(y-2)^2= 4 - x^2$

можно угадать $x=2,y=2; x=0,y=4$. Правда, что других корней нет -- придется доказывать как-то в общем виде

[Someone]

thething в сообщении #1291027 писал(а):

можно угадать

Пара чисел, угаданных из одного уравнения системы, не обязана удовлетворять двум другим. Тем более, что таких пар больше. И не всё можно угадать.

[thething]

Someone
Естественно, я ж только про данный конкретный случай написал. Здесь угадывается, в другом случае -- нет. А в олимпиадной задаче, по-моему, разрешено то, что не запрещено.

[Someone]

Да всё равно придётся как-то сводить к одному уравнению, чтобы доказать, что других решений нет.

[Markiyan Hirnyk]

Применяя базис Гребнера (см. его описание здесь),
и Математика

Solve[x >= 0 && (2*x - z)*(z + 2) == 9 + 4*z && z + 2 == (3 - y)^3 && 
  x^2 + y^2 == 4*y, {x, y, z}, Reals]
{{x -> 0, y -> 4, z -> -3}, {x -> 2, y -> 2, z -> -1}}

и Мэйпл

SolveTools:-SemiAlgebraic({x >= 0, (2*x-z)*(z+2) = 9+4*z, z+2 = (3-y)^3, x^2+y^2 = 4*y}, [x, y, z]);
        [[x = 0, y = 4, z = -3], [x = 2, y = 2, z = -1]]               

находят два решения рассматриваемой системы.
Как показано в цитируемой киге И. Аржанцева, все эти преобразования можно сделать вручную, но это весьма трудоемко.

[thething]

(Оффтоп)

Простите, не сдержался

[Someone]

Да ладно, не так страшен чёрт, как его малюют.
Путь, который я предложил, вполне проходим. Сведение системы к одному уравнения двенадцатой степени относительно $y$ занимает примерно половину странички в стандартной школьной тетради, особенно если сделать замену переменной $y=t+3$. После этого один корень виден сразу, и соответствующий ему множитель нужно удалить, а второй легко подбирается. Некоторую проблему составляет то, что второй корень имеет кратность больше $1$, и для его удаления придётся раскрыть скобки (школьных формул сокращённого умножения для этого вполне достаточно). Желательно использовать схему Горнера, потому что делить "уголком" многочлен одиннадцатой степени немножко громоздко. После этого очень легко убедиться, что оставшееся уравнение не имеет корней, удовлетворяющих условию $x\geqslant 0$.
Ну, я бы в страничку—полторы, скорее всего, уложился.

-- Чт фев 08, 2018 14:52:56 --

Binar в сообщении #1291127 писал(а):

Ввели в 4ю степень обе части уравнения?

Избави Бог! А откуда двенадцатая степень? Первое уравнение — третьей степени, второе и третье — второй; $3\cdot 2\cdot2=12$. Это не универсальное правило, но в данном случае так и есть.

По-моему, я подробно написал, что надо делать: https://dxdy.ru/post1291015.html#p1291015, https://dxdy.ru/post1291115.html#p1291115. Надо внимательно читать, что Вам пишут. Если Вы ждёте, когда кто-нибудь выложит готовое решение, то можете не дождаться. Тем более, что правила данного раздела этого форума запрещают помогающим выкладывать готовые решения. Так что берите лист бумаги, ручку — и вперёд.

[TR63]

Надо найти область определения переменной (x) (используя дискриминант) из второго и третьего уравнения исходной системы. Получится одна общая точка.

[Markiyan Hirnyk]

Для полноты приведу уравнение одинадцатой степени для нахождения $z$ после исключения $x,y$
${z}^{11}+35\,{z}^{10}+523\,{z}^{9}+4505\,{z}^{8}+25526\,{z}^{7}+101298 \,{z}^{6}+287442\,{z}^{5}+578902\,{z}^{4}+803353\,{z}^{3}+725723\,{z}^ {2}+381779\,z+88161 =0 $
и уравнение двенадцатой степени для нахождения $y$ после исключения $x,z$
${y}^{12}-36\,{y}^{11}+594\,{y}^{10}-5944\,{y}^{9}+40207\,{y}^{8}- 193840\,{y}^{7}+683502\,{y}^{6}-1777356\,{y}^{5}+3384477\,{y}^{4}- 4603720\,{y}^{3}+4245732\,{y}^{2}-2382480\,y+6146560 =0 .$

[Binar]

Someone в сообщении #1291115 писал(а):

Избави Бог!

Да уж. Не подумал, когда писал . Прошу помилуйте. Уверяю я работаю над решением

[Someone]

TR63 в сообщении #1291137 писал(а):

Надо найти область определения переменной (x) (используя дискриминант) из второго и третьего уравнения исходной системы. Получится одна общая точка.

Это вряд ли. Система имеет три различных действительных решения, причём, с различными значениями $x$; одно из решений имеет кратность $>1$, и в одном $x<0$. В одну общую точку это никак не вписывается.

(Markiyan Hirnyk)

Markiyan Hirnyk, извините, но ваше вмешательство явно неуместно. Оно не поможет решению, а навредить может.