Кольцо множеств

[SomePupil]

По одному из определений, кольцо множеств есть класс множеств, замкнутый относительно разности $A-B$ и (конечного) объединения $A \cup B.$

Сейчас я с удивлением обнаружил, что чтобы класс был кольцом достаточно потребовать замкнутости относительно симметрической разности $A \Delta B.$ Действительно, пересечение с помощью неё можно построить, например, таким образом: $A \cap B = A \Delta (A \Delta B),$ разность $-$ таким: $A-B = A \cap (A \Delta B),$ а объединение $-$ вот таким: $A \cup B = (A \Delta B) \Delta (A \cap B).$

Что меня смущает, в учебниках, когда дают альтернативное определение для колец множеств, наряду с замкнутостью относительно симметрической разности, всегда требуют замкнутости относительно пересечения. Это странно, потому что пересечение легко выражается через симметрическую разность, и непонятно, зачем нужна вторая операция. Которую, кстати, используют, чтобы обосновать аналогию "кольцо множеств" $-$ "булево кольцо", тогда как в свете сказанного была бы более уместна аналогия "кольцо множеств" $-$ "полугруппа". Вопрос: почему так делают?

Либо я где-то совершил глупую ошибку, либо пересечение действительно выражается через симм. разность.

[arseniiv]

Симметрическая разность ассоциативна, коммутативна, и $X\triangle X=\varnothing$. Что это даёт?

[SomePupil]

arseniiv, если $R -$ кольцо множеств, то $(R, \Delta, \cap)$ имеет структуру булева кольца. Это известно. Вопрос в том, почему вводят вторую операцию, если она легко выражается через первую? Если бы, например в кольце $(\mathbb R, +, \cdot)$ выполнялось равенство $ab = a+(a+b)$ это выглядело бы несколько странно, нет?

Ежели вопрос был про саму операцию симметрической разности, то те свойства, которые Вы записали, задают все основные свойства кольца множеств, так как все операции на ней выражаются через эту.

P. S. Кстати, из записанного Вами следует аналогия "кольцо множеств" $-$ "абелева группа".

-- 03.02.2018, 09:31 --

Да, все-таки глупая ошибка $A \Delta (A\Delta B) = B$. Выспаться, чтоль?

[arseniiv]

Погодите высыпаться, вы ещё не доказали, что нельзя выразить пересечение иным способом. Для этого переберите все варианты формул, составленных из $\triangle, A, B$.

[SomePupil]

Если в формуле будет четное кол-во $A$ и четное кол-во $B$, то они сократятся и получится $\varnothing$ Остальные случаи:

Чет $A$, нечет $B$: получится $B$.
Нечет $A$, чет $B$: получится $A$.
Нечет $A$, нечет $B$: получится $A \Delta B$.

Ни в каком из этих случаев $A \cap B$ не получается.

-- 03.02.2018, 11:23 --

P. S. Если кто-то подумал "ну, строго говоря, это при непустом пересечении", то I like you, baby!

[arseniiv]

Дескать, при пустом пересечении можно его получить? Ну, это, конечно, надо отбрасывать, ведь по условию должно получиться выражение от $A, B$, всегда дающее то же, что $A\cap B$. Так что, в принципе, не обязательно делать эту оговорку.