2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение01.02.2018, 20:44 
Заслуженный участник


17/09/10
1816
Докажите, что для любого целого числа $N$ найдется целое $A\ne\pm{2}$ такое, что выражение $N^4+AN^2+1$ является квадратом целого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение01.02.2018, 22:42 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
Например, $A=3N^2 + 4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение01.02.2018, 23:15 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
$N^4+AN^2+1=X^2$

$N^2(N^2+A)=X^2-1$

Для любого $X^2\equiv 1 \mod N^2\ \ A=\dfrac{X^2-1}{N^2}-N^2.$ Случай $A=\pm 2$ тривиальный $X=N^2\pm 1$, но другие $X$ найдутся всегда. Например $2N^2\pm 1$. А, ну я ломлюсь в открытые двери (:

Исправлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение02.02.2018, 00:13 
Заслуженный участник


17/09/10
1816
Имею в запасе более замысловатое $A=\dfrac{(N-2)^2{(N+1)^2}-8}{4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение02.02.2018, 02:56 


18/08/14
52
$a c\, {{y}^{4}}+a t\, {{y}^{2}}+{{b}^{2}}$ - квадрат, если $t=a\, {{h}^{2}}\, {{y}^{2}}-c\, {{y}^{2}}+2 b h$

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение02.02.2018, 10:11 
Заслуженный участник


17/09/10
1816
AlexSam в сообщении #1289315 писал(а):
$a c\, {{y}^{4}}+a t\, {{y}^{2}}+{{b}^{2}}$ - квадрат, если $t=a\, {{h}^{2}}\, {{y}^{2}}-c\, {{y}^{2}}+2 b h$

Это обобщающие вариации на тему естественного ответа maxal.
Более замысловатое $A$ отсюда не получается. Оно из другой оперы.
Вопрос: откуда оно взялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение02.02.2018, 17:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5382
scwec в сообщении #1289359 писал(а):
Более замысловатое $A$ отсюда не получается. Оно из другой оперы.
Вопрос: откуда оно взялось.

Слишком расплывчатый вопрос. Найти подходящее $A$ можно взяв любой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и положив $A=\frac{(f(N)N^2+1)^2-1-N^4}{N^2}=f(N)^2N^2+2f(N)-N^2$. При желании можно также разрешить коэффициентам $f$ быть полуцелыми, если $f(1)$ является целым. Ваш пример получается при $f(x) = \frac{x-1}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: N^4+AN^2+1 - квадрат
Сообщение02.02.2018, 21:33 
Заслуженный участник


17/09/10
1816
maxal, хотя сам подход очевиден, но извлечение из решения "замысловатого" $A$ (ключевое слово многочлен) очень остроумно.
У меня $A$ получилось из других соображений. Правда, исходное уравнение рассматривалось с произвольным целым свободным членом, единица как частный случай. Для единицы рассматривалось $A=a^2-2$. Затем уравнение приводилось к форме Вейерштрасса, находились целые точки на эллиптической кривой и затем по ходу дела это $A$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group