Зависимость x(t) через v(x)

[Rusit8800]

mihaild в сообщении #1288919 писал(а):

Не всегда. Во-первых, интеграл может оказаться неберущимся (не выражающимся через элементарные функции): например, если $v(x) = e^{x^2}$.
Во-вторых, даже если интеграл берущийся, обратная к получившейся функции опять же не обязательно выражается через элементарные функции: например, если получится $t(x) = x^5 - x$.

Ну и пусть. Главное что можно хоть как то выразить.

[Dragon27]

Если хочется, можно просто ввести обозначение $f^{-1}$, которое означает обратную функцию к $f$ (так что $f^{-1}(f(x))=x$ ), и так и записать :)
Надо ещё убедиться, что функция биективна, конечно.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1288920 писал(а):

Пусть потенциальная энергия $U(x)$, энергия частицы массы $m$ равна $E$. Тогда из закона сохранения энергии

$$\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+U(x)=E$$

получаем

$$dt=\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}.$$

Дальше при удачном стечении обстоятельств можно получить $x(t)$ в явном виде. Можете попробовать для $U=\dfrac{kx^2}{2}, E=\dfrac{kx_0^2}{2}, x(0)=x_0$.
Должно получиться $x=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$.

Это вывод смещения пружинного маятника?

-- 31.01.2018, 18:51 --

Dragon27 в сообщении #1288922 писал(а):

Последний раз редактировалось Dragon27
31.01.2018, 18:49, всего редактировалось 2 раз(а).


Если хочется, можно просто ввести обозначение $f^{-1}$, которое означает обратную функцию к $f$ (так что $f^{-1}(f(x))=x$ ), и так и записать :)

Нет, мне надо в явном виде. Такое обозначение полезной информации не дает.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288923 писал(а):

Это вывод смещения пружинного маятника?

Это иллюстрация применения метода на известном примере.

(Оффтоп)

Посложнее, но тоже решаемый случай $U=-\alpha/x, E=-\alpha/x_0$. Это падение в поле тяжести с нулевой начальной скоростью.

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1288923 писал(а):

Нет, мне надо в явном виде.

В явном виде - это через стандартные (какие?)? В общем случае не получится.
Представьте, что у вас пример DimaM, но функцию $\cos$ человечество еще не открыло. Будет ли ответ выражаться?

[Rusit8800]

Ну а допустим физикам нужно решение в общем виде, но его аналитически не получить. Что они будут делать?

[mihaild]

Смотря зачем оно им нужно. Могут ввести новую функцию, через которую решение уже будет выражаться. Могут считать численно, это не страшно (в конечном итоге даже квадратные корни считаются численно). Могут предположить что что-то мало и рассмотреть приближение. Наверняка могут еще что-то сделать.
Ничего магического в стандартных элементарных функциях нет, функция, заданная как $\int\limits_{0}^x e^{t^2}\,dt$ ничем принципиально не отличается от $\sin(x)$.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288934 писал(а):

Ну а допустим физикам нужно решение в общем виде, но его аналитически не получить. Что они будут делать?

(Оффтоп)

Вы, чем эту филозофию разводить, лучше попробуйте предложенные примеры порешать

[arseniiv]

А чего, можно, кстати, предложить и упражнение на доказательство базовых свойств некоторой неэлементарной функции попроще: общее поведение, выразить её производную, решить какое-то уравнение с ней или с помощью неё, посчитать в точке…

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1288934 писал(а):

Ну а допустим физикам нужно решение в общем виде, но его аналитически не получить. Что они будут делать?

Например, получить в виде разложения в ряд. Ну или сразу численно.

[Dragon27]

Rusit8800 в сообщении #1288923 писал(а):

Нет, мне надо в явном виде. Такое обозначение полезной информации не дает.

А для чего вам надо? В реальной задаче надо будет. Но в реальной задаче у нас явно задана функция, а тут "в общем виде". Как вы явно выразите обратную функцию для не заданной явно функции?
Все специальные функции (типа функций Бесселя) обычно именно так искусственно и создаются: пишется какая-нибудь задача (типа диффура, или ещё какого-нибудь уравнения), выясняется что функцию-решение этой задачи в явном закрытом конечном виде через уже известные функции не получить, и объявляется, что решение этой задача - это новая функция, имя ей присваивают. Доказывают её свойства через свойства задачи (например, что это вообще функция), находят способы её вычисления с любой нужной точностью (через ряды те же) и т.д.

[Rusit8800]

Вообще я понимаю, что если есть разложение неэлементарной функции в бесконечный ряд, то задача, которая свелась к нахождению этой функции, имеет аналитическое решение. В связи с этим есть 2 вопроса:
1) Правильно ли я понимаю критерий возможности решения задачи аналитически?
2) Можно ли всегда найти решение моей задачи через бесконечный ряд?

[arseniiv]

Если «аналитически» означает «в виде конечного выражения от заранее известного множества функций», то, по идее, для этого не обязательно иметь ряд. Численное интегрирование, например (если есть интегральное представление), кажется, не всегда сводится к вычислению ряда. Часто ряд можно получить по другим выражениям интересующей функции, но он может оказаться в каком-нибудь смысле плохой: медленно сходящийся, какой-нибудь численно неудобный — а другое представление может давать лучшие вычислительные возможности.

[Rusit8800]

А разве поможет в моем случае численное интегрирование? Ведь тогда интеграл в выражении

$$t(x) = {t_0} + \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{1}{{v(x)}}} dx $$

полностью заменяется на число, тогда все выражения с $x$, естественно, пропадают, и мы получим уравнение $t=t_0+$ какое-то число. Из этого выражения не получится выражения $x(t)$, поскольку в нем вообще нет $x$.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1289256 писал(а):

полностью заменяется на число

Ну это как интегрировать...