Проверка равновероятности

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, столкнулся с проблемой и предлагаю свое решение.

Проводил эксперименты с бросанием монеты. Решил автоматизировать процесс при помощи компьютера.
Нашел соответствующую программу и вдруг она выдала сразу 17 единичек. У меня закралось сомнение,
что появление 0 и 1 равновероятное. Но как это проверить? Когда бросаешь монетку, то наличие
только двух сторон и симметрия монетки дают хоть какую-то гарантию равной вероятности появления сторон монетки.
Компьютер декларирует вероятность появления 0 и 1 равную 0.5, а по какому закону они появляются в самом деле неизвестно.

Попытался ответить на возникший вопрос методами математической статистики.
Для этого использовал форму для подтверждения идентичности двух последовательностей.

$\mid M_i-N_i\mid<\frac{t_{st}\cdot\sigma}{\sqrt{N}}$

где $M_i, N_i$ - сравниваемые последовательности
$N$ - количество испытаний
$\sigma$ - среднеквадратичное отклонение
$t_{st}$ - соответствующий коеффициент Стьюдента

Применительно к задаче:
$N_i$ - ожидаемая вероятность появления 0 или 1 равная 0.5 (константа)
$M_i=\frac{i}{N}, \frac{N}2\leqslant i \leqslant N$ - частота появления значения, которое чаще выпадает.

Гипотеза $Н0$ - последовательности $M_i$ и 0,5 не различимы.
Альтернативная гипотеза $H_1$ - последовательности $M_i$ и 0,5 существенно различимы.
Для задачи формула приобретает вид

$\mid\frac{i}{N}-0.5\mid<\frac{t_{st}\cdot\sigma}{\sqrt{N}}$

Модуль отбрасываем, так как частота заведомо больше $0.5$

Среднеквадратичное отклонение $\sigma=\sqrt{\frac{N(0.5)^2}{N-1}}$

Когда подставим, получим

$\frac{i}{N}-0.5<\frac{t_{st}}{2\sqrt{N-1}}$

Найдем критическое количество выпадений, для которых выполнима гипотеза $H_0$

$i<\frac{N}2+\frac{N}2\cdot\frac{t_{st}}{\sqrt{N-1}}$

Из моего опыта меньше 17 испытаний бессмысленно делать какой-либо вывод.
Пусть $N=26, t_{st}=2,78$, тогда $i< 20,2$ и нулевая гипотеза выполняется с вероятностью 0,99 .
Другими словами, в серии из 26 испытаний должно появляться не более 20 орлов или решек. Если 21 и более, то скорее всего нарушено равенство вероятности появления орлов или решек.
Если $N=50, t_{st}=2,68$, тогда $i< 34,5$
Если $N=100, t_{st}=2,62$, тогда $i< 63,1$
Если $N=1000, t_{st}=2,58$, тогда $i< 40,8$

[Dan B-Yallay]

Побережный Александр в сообщении #1288362 писал(а):

Нашел соответствующую программу и вдруг она выдала сразу 17 единичек.

Она с самoго начала их выдала или после того как немного поработала?

Не помню где-то читал что человек подсознательно пытается держать баланс между "орлами" и "решками", поэтому у сгенерированных человеком последовательностей не встречается "длинных" нулей или единиц.

[arseniiv]

Побережный Александр в сообщении #1288362 писал(а):

Решил автоматизировать процесс при помощи компьютера.
Нашел соответствующую программу

Если код той программы открыт, можно узнать, что там за генератор и как она его инициализирует. Если нет, можно, в принципе, написать свою и со своим генератором. А ещё есть random.org.

-- Вт янв 30, 2018 02:57:45 --

Например, по ссылке https://www.random.org/integers/?num=100&min=0&max=1&col=10&base=10&format=html&rnd=new выдадутся 100 чисел из $\{0,1\}$, выложенные в десять столбцов (остальные три параметра можно игнорировать).

-- Вт янв 30, 2018 03:18:47 --

Главное не генерировать сразу миллион бит, а то квота (временно) исчерпается, сервер-то общий.

[Евгений Машеров]

0. Генератор, который никогда не выдаст 17 единиц подряд - не может быть генератором, выдающим независимые равновероятные случайные числа 1 и 0. Если он выдал 16 единиц, и при этом заведомо не выдаст семнадцатую - он выдаст 0, то есть результат семнадцатого испытания будет определяться предыдущими 16ю. Вероятность такой выдачи мала, получить в первых же 17 опытах 17 единиц при равновероятности их - менее одной стотысячной, но в очень большой серии опытов вполне возможно.
1. Нестатистическая проверка должна состоять в анализе алгоритма расчёта. При использовании чужой программы исходный текст может быть недоступен, в этом случае можно дизассемблировать её, но это крайне трудоёмкий путь. Если программа общедоступна - можно попробовать обратиться к автору.
2. Статистические тесты для ГСЧ разнообразны, и я бы рекомендовал сходить в веломагазин почитать 2 том Кнута, там много приведено.
3. Есть ещё возможность того, что программа правильна, но неправильно её использование. Скажем, обычно используемые ГСЧ, строго говоря, генерируют псевдослучайные числа, и для придания им действительной случайности задаётся начальная установка (seed), скажем, исходя из младших разрядов часов на момент первого запуска ГСЧ, а в ответственных случаях и из настоящего генератора случайных чисел, скажем, на тепловом шуме или радиоактивном распаде. Но если при повторных запусках задавать тот же seed, то будем получать строго одно и то же. Как бы ни казалась такая ошибка невозможной - и такое случается, "глаз замылен".

[epros]

Dan B-Yallay в сообщении #1288413 писал(а):

Не помню где-то читал что человек подсознательно пытается держать баланс между "орлами" и "решками", поэтому у сгенерированных человеком последовательностей не встречается "длинных" нулей или единиц.

На этом даже основан способ выигрывания в "честные" лотереи: Поскольку большинство игроков стараются ставить на "максимально беспорядочные" комбинации, особо хитрый игрок, который ставит на "упорядоченные" комбинации, в среднем выигрывает. Хотя и немного.

[Побережный Александр]

Dan B-Yallay в сообщении #1288413 писал(а):

Она с самoго начала их выдала или после того как немного поработала?

Программа сразу выдала 17 единичек. Я сначала удивился и решил проверить выпадение максимальных "единичек" и "нулей" на реальной монетке. После 150 бросков у меня выпало подряд 10 орлов. Я понял, что "длинные" последовательности не такое и редкое событие. Даже когда воспользовался ссылкой на генератор случайных чисел от arseniiv в первой же сотне была последовательность из 11 нулей.

[dsge]

Нули и единицы, возможно, будут равновероятны при большом числе симуляций, но генератор, наверное, дает автокоррелируемые числа, поэтому и случаются такие повторы.

[Sicker]

epros в сообщении #1288474 писал(а):

На этом даже основан способ выигрывания в "честные" лотереи: Поскольку большинство игроков стараются ставить на "максимально беспорядочные" комбинации, особо хитрый игрок, который ставит на "упорядоченные" комбинации, в среднем выигрывает. Хотя и немного.

Да ладно, там же по любому мат ожидание выигрыша будет 0, разве нет?

[ET]

Sicker в сообщении #1288722 писал(а):

epros в сообщении #1288474 писал(а):

На этом даже основан способ выигрывания в "честные" лотереи: Поскольку большинство игроков стараются ставить на "максимально беспорядочные" комбинации, особо хитрый игрок, который ставит на "упорядоченные" комбинации, в среднем выигрывает. Хотя и немного.

Да ладно, там же по любому мат ожидание выигрыша будет 0, разве нет?

В смысле, в честной?
Нет, конечно. Секрет в том, что матожидание выигрыша зависит не только от его вероятности, но и от его суммы, а epros имеет ввиду лотереи, в которых сумма (каждому) зависит от числа выигравших

[epros]

ET в сообщении #1288727 писал(а):

В смысле, в честной?
Нет, конечно. Секрет в том, что матожидание выигрыша зависит не только от его вероятности, но и от его суммы, а epros имеет ввиду лотереи, в которых сумма (каждому) зависит от числа выигравших

"В честной" - это значит:
1. Все комбинации равновероятны, корреляций нет.
2. Суммарный выигрыш равен суммарной стоимости билетов, т.е. никакой "комиссии организаторам" не предусмотрено.
3. Между угадавшими выигрыш делится поровну, т.е. никаких "льготных участников" не предусмотрено.

[Евгений Машеров]

На практике это работает, если часть фонда выигрыша может быть невостребована и перейдёт в следующий тур, образуя "джек-пот". В этом случае матожидание выигрыша при нескольких таких событиях способно оказаться положительным.

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1288752 писал(а):

На практике это работает, если часть фонда выигрыша может быть невостребована и перейдёт в следующий тур, образуя "джек-пот". В этом случае матожидание выигрыша при нескольких таких событиях способно оказаться положительным.

Да. При этом достаточно того, чтобы на следующий тур передавались сборы за тот тур, в котором не угадал никто.

[Побережный Александр]

Побережный Александр в сообщении #1288362 писал(а):

Найдем критическое количество выпадений, для которых выполнима гипотеза $H_0$

$i<\frac{N}2+\frac{N}2\cdot\frac{t_{st}}{\sqrt{N-1}}$

Интересно, если $N=12$ и $p-0.01$, $t_{st}=3,106$, то $i<11.6$
Получается, что если подряд выпало 11 "единичек", то двенадцатым с вероятностью $p=0.99$ выпадет "нолик". Иначе нарушается равновероятность выпадения "единичек" и "ноликов". А также напрашивается вывод, что при многократном выпадении "единички", вероятность выпадения "нолика" повышается, а не равна $p=0.5$
Другими словами, если в азартных играх многократно выпадает одна и та же величина, есть смысл делать ставку на альтернативную.

[B@R5uk]

Побережный Александр в сообщении #1288712 писал(а):

Я понял, что "длинные" последовательности не такое и редкое событие.

Я тут недавно интересовался подобным вопросом. Более конкретно, меня интересовало среднее время ожидания до выпадения заданной последовательности равновероятных символов (не обязательно только одних орлов, или только одних решек, а так же не обязательно, что алфавит состоит только из двух символов: "О"рёл и "Р"ешка). Так вот там оказалось, что не смотря на то, что вероятность выпадения последовательностей одинаковой длины равны, среднее время ожидания сильно зависит от того, как много в последовательности повторений. С этой точки зрения один орлы и одни решки самые "трудно выпадающие" последовательности.

[Евгений Машеров]

Побережный Александр в сообщении #1290233 писал(а):

Получается, что если подряд выпало 11 "единичек", то двенадцатым с вероятностью $p=0.99$ выпадет "нолик". Иначе нарушается равновероятность выпадения "единичек" и "ноликов". А также напрашивается вывод, что при многократном выпадении "единички", вероятность выпадения "нолика" повышается, а не равна $p=0.5$
Другими словами, если в азартных играх многократно выпадает одна и та же величина, есть смысл делать ставку на альтернативную.

Это ложное рассуждение. Ошибка в нём основана на том, что спутаны понятия "матожидание" и "обязательное количество". В случае честной монеты выпадание 11 (111, 1111 и т.п) "единичек"на вероятность выпадения "нолика" не влияет. Эта сверхценная идея уже разорила немало игроков.