Способ уменьшения неопределенности измерения

[sobiras]

Пусть есть два объекта, сигналы которых измеряет детектор. Проведено $N$ опытов. Результат каждого опыта представляет собой пару чисел $X=a\cdot x+b$ и $Y=a\cdot y+c$, где $X$ и $Y$ – измеренные значения, $x$ и $y$ – истинные значения, $a$, $b$ и $c$ – нормально распределенные случайные величины. Поскольку сигналы $X$ и $Y$ в каждом опыте связаны коэффициентом $a$, есть предположение, что неопределенность измерения сигнала объекта можно уменьшить путём коррекции по сигналу другого объекта. Рассмотрим пример:
_______Объект 1___Объект 2
Опыт 1:___$X_{1}$________$Y_{1}$
Опыт 2:___$X_{2}$________$Y_{2}$
Опыт 3:___$X_{3}$________$Y_{3}$
Интуитивно хочется скорректировать сигнал $X_{i}$ по формуле $X^*_{i} = Y_{i}/3\cdot(X_{1}/Y_{1}+X_{2}/Y_{2}+X_{3}/Y_{3})$.
Однако с математическим обоснованием возникли трудности. Прошу помочь советом.

[Евгений Машеров]

a, b. c - постоянны?

[Sicker]

Евгений Машеров

sobiras в сообщении #1288627 писал(а):

$a$, $b$ и $c$ – нормально распределенные случайные величины

[dsge]

Известны ли параметры распределений a, b, c? Можно попробовать оценить условные матожидания при условиях на X, Y, но необходима информация про безусловные ожидания.

[Евгений Машеров]

Ещё раз повторю вопрос.
a, b, c - постоянны?
Поясняю. Они могут быть сгенерированы перед опытом и постоянны в ходе него для всех i, могут генерироваться перед каждым испытанием, но при расчёте X и Y одинаковы, или генерироваться для X и Y отдельно.

[sobiras]

Евгений Машеров в сообщении #1288691 писал(а):

a, b. c - постоянны?

$a$, $b$, $c$ «генерируются» в каждом $i$-м опыте: $X_{i}=a_{i}\cdot x+b_{i}$ и $Y_{i}=a_{i}\cdot y+c_{i}$. Коэффициент $a_{i}$ у $X_{i}$ и $Y_{i}$ общий (т. е. одинаковый).

dsge в сообщении #1288710 писал(а):

Известны ли параметры распределений a, b, c?

Параметры распределений неизвестны, но проведя много опытов, наверное, их можно оценить.

[sobiras]

Теоретически мат. ожидания должны быть следующими: $M[a]=1$, $M[b]=M[c]=0$. Дисперсии неизвестны.

[Евгений Машеров]

Если в разных опытах коэффициенты разные - боюсь, ничего не выйдет. Что конкретно до предлагаемой формулы - а что, если одно из Y окажется нулём или близкой величиной?

[sobiras]

Условия эксперимента таковы, что $X_{i}$ и $Y_{i}$ значительно превосходят нуль. Дело в следующем: сигнал детектора характеризуется некоторой величиной шума, например, 50 единиц; количественные расчёты мы проводим лишь для тех данных, для которых отношение сигнал объекта к шуму детектора не менее 10.