Зависимость x(t) через v(x)

[Rusit8800]

Допустим нам известна зависимость скорости от координаты $v(x)$. Как через $v(x)$ выразить $x(t)$?
Мне сразу захотелось написать так:

$$\[x(t) = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v(x){\text{ }}dt} \]$$

Ясно, что так делать нельзя и надо как-то выразить $v(x)$ через $v(t)$. Но как сделать это?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288629 писал(а):

Но как сделать это?

Надо вспомнить, что такое скорость, разделить переменные и проинтегрировать. Если это удастся, обратить получившуюся функцию (опять же, если удастся).

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1288631 писал(а):

Надо вспомнить, что такое скорость, разделить переменные и проинтегрировать.

Я бы написал так:

$$\[v(x) = \frac{{dx(t)}}{{dt}}\]$$

но это равносильно тому, что я написал.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288632 писал(а):

Я бы написал так:

$$\[v(x) = \frac{{dx}}{{dt}}\]$$

Я чуть подредактировал. Теперь нужно разделить переменные.

[Rusit8800]

А что это значит?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288634 писал(а):

А что это значит?

Это значит, что величины, содержащие $x$, должны быть в одной части уравнения, а содержащие $t$ - в другой.

[Mikhail_K]

Rusit8800, здесь нужно знать тему "Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными" из курса дифференциальных уравнений.

А откуда вообще задача?

-- 30.01.2018, 18:54 --

DimaM, кажется, ТС не знаком с диф.уравнениями (?).

[DimaM]

Mikhail_K в сообщении #1288636 писал(а):

А откуда вообще задача?

Вообще при описании одномерного движения в потенциальном поле такая задача возникает.

-- 30.01.2018, 22:56 --

Mikhail_K в сообщении #1288636 писал(а):

кажется, ТС не знаком с диф.уравнениями (?)

Если интегрировать умеет, то должен прорваться .

[Rusit8800]

Mikhail_K в сообщении #1288636 писал(а):

А откуда вообще задача?

Обобщил одну задачу из МФО.

Mikhail_K в сообщении #1288636 писал(а):

ТС не знаком с диф.уравнениями

Только с такими

$$\[\frac{{dx}}{{dt}} = \alpha x\]$$

[DimaM]

Rusit8800
Так что получается из вашего уравнения, если разделить переменные?

[Rusit8800]

Получилось как-то так:

$$\[\begin{gathered} v(x) = \frac{{dx}}{{dt}} \hfill \\ dt = \frac{1}{{v(x)}}dx \hfill \\ \int\limits_{{t_0}}^t t dt = \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{1}{{v(x)}}} dx \hfill \\ t(x) = {t_0} + \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{1}{{v(x)}}} dx \hfill \\ \end{gathered} \]$$

-- 31.01.2018, 18:05 --

Как теперь $x(t)$ через $t(x)$ выразить?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288908 писал(а):

Как теперь $x(t)$ через $t(x)$ выразить?

Вычислить интеграл и обратить полученную функцию. Иногда это возможно, но нужно смотреть на конкретную зависимость $v(x)$.

[Rusit8800]

То есть это еще и не всегда возможно?

[mihaild]

Не всегда. Во-первых, интеграл может оказаться неберущимся (не выражающимся через элементарные функции): например, если $v(x) = e^{x^2}$.
Во-вторых, даже если интеграл берущийся, обратная к получившейся функции опять же не обязательно выражается через элементарные функции: например, если получится $t(x) = x^5 - x$.
(конечно никто не мешает взять большее множество функций, в том числе и просто доказать, что ваше уравнение задает функцию $x(t)$ и дальше ее рассматривать)

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1288915 писал(а):

То есть это еще и не всегда возможно?

В элементарных функциях. Например, $v=xe^{-x}$, и интеграл уже в явном виде не берется.
Но в общем виде это стандартный подход для решения одномерной задачи движения в потенциальном поле.

(Оффтоп)

Пусть потенциальная энергия $U(x)$, энергия частицы массы $m$ равна $E$. Тогда из закона сохранения энергии

$$\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+U(x)=E$$

получаем

$$dt=\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}.$$

Дальше при удачном стечении обстоятельств можно получить $x(t)$ в явном виде. Можете попробовать для $U=\dfrac{kx^2}{2}, E=\dfrac{kx_0^2}{2}, x(0)=x_0$.
Должно получиться $x=x_0\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$.