Вопрос по разложению генераторов группы Ли...

[VladTK]

Как известно, коммутаторы генераторов группы Ли $T_a$ можно выразить через сами генераторы

$$[T^a, T^b]=T^a T^b-T^b T^a=i f_{abc} T^c$$

где $f_{abc}$ - полностью антисимметричные структурные константы группы.

Можно ли подобное выражение записать для произведений генераторов группы ($I$ - единичная матрица, $h_0, h_{abc}$ - некоторые константы)

$$T^a T^b=h_{0} I+h_{abc} T^c$$

?

Например, для групп $SU(n)$ это можно сделать, так как известно разложение не только коммутатора генераторов, но и антикоммутатора

$$\{T^a, T^b\}=T^a T^b+T^b T^a=\frac{\delta_{ab}}{n} I+d_{abc} T^c$$

где $d_{abc}$ - полностью симметричные d-константы группы $SU(n)$. Соответственно

$$T^a T^b=\frac{\delta_{ab}}{2n} I+\frac{d_{abc}+i f_{abc}}{2} T^c$$

[пианист]

Мне навскидку кажется, что антикоммутатор, в отличие от коммутатора, будет зависеть от представления алгебры/группы.

[Slav-27]

VladTK в сообщении #1287235 писал(а):

для произведений генераторов группы

А что это такое? Если у вас была просто какая-то абстрактная группа Ли, то в её алгебре Ли изначально нет никакого "произведения", кроме коммутатора (вернее, коммутатор -- это и есть произведение этой алгебры, и он, изначально, не представлен в виде разности чего-то там). То есть тут надо сказать либо "группа Ли была матричная -- то есть подгруппа $GL(n,\mathbb R)$", либо "я знаю теорему Адо". Но даже если алгебра Ли матричная, это не означает, что произведение (обычное матричное, а не коммутатор) тоже попадёт в алгебру. Вот коммутатор попадёт обязательно.

VladTK в сообщении #1287235 писал(а):

$$[T^a, T^b]=T^a T^b-T^b T^a=i f_{abc} T^c$$

Дальше. Группа Ли, изначально -- вещественное векторное пространство, и поэтому прежде чем умножать что-то на $i$, надо тоже говорить какие-то слова: "рассматриваем не саму алгебру, а её комплексификацию". Физики обычно сразу всё комплексифицируют и генераторы выбирают эрмитовыми (домножая "истинные" генераторы на $i$: алгебра $su(n)$ состоит из косоэрмитовых матриц).

Комплексифицируя алгебру $su(n)$, мы получаем комплексную алгебру Ли $su(n)_\mathbb C$, изоморфную алгебре комплексных $n\times n$ матриц с нулевым следом (с обычным сложением и коммутатором $[a,b]=ab-ba$). Комплексная размерность всего векторного пространства $n\times n$ матриц есть $n^2$, условие нулевого следа понижает её на $1$, и поэтому если мы добавим туда ещё единичную матрицу, которая там не лежит, то увеличим размерность на $1$ и тем самым получим всё пространство $n\times n$ матриц. В таком случае, конечно, любую матрицу можно будет представить в виде линейной комбинации единичной матрицы и элемента из нашей алгебры (который, в свою очередь, линейно выразится через генераторы). В том числе и матричные произведения генераторов можно будет так представить.

В общем случае можно делать так же: посмотреть на матричную алгебру и расширить её, чтобы матричные произведения все туда попали. Но не факт, что будет достаточно добавить какую-то одну матрицу (и тем более не факт, что достаточно добавить единичную). Я думаю, что легко подобрать пример, чтобы одной не хватало, но пока не подобрал.

-- 25.01.2018, 12:22 --

$so(3)_\mathbb C$ вроде пойдёт, проверьте, если интересно.

[VladTK]

Slav-27 в сообщении #1287254 писал(а):

VladTK в сообщении #1287235 писал(а):

для произведений генераторов группы

А что это такое? Если у вас была просто какая-то абстрактная группа Ли, то в её алгебре Ли изначально нет никакого "произведения", кроме коммутатора (вернее, коммутатор -- это и есть произведение этой алгебры, и он, изначально, не представлен в виде разности чего-то там). То есть тут надо сказать либо "группа Ли была матричная -- то есть подгруппа $GL(n,\mathbb R)$", либо "я знаю теорему Адо". Но даже если алгебра Ли матричная, это не означает, что произведение (обычное матричное, а не коммутатор) тоже попадёт в алгебру. Вот коммутатор попадёт обязательно.

VladTK в сообщении #1287235 писал(а):

$$[T^a, T^b]=T^a T^b-T^b T^a=i f_{abc} T^c$$

Дальше. Группа Ли, изначально -- вещественное векторное пространство, и поэтому прежде чем умножать что-то на $i$, надо тоже говорить какие-то слова: "рассматриваем не саму алгебру, а её комплексификацию". Физики обычно сразу всё комплексифицируют и генераторы выбирают эрмитовыми (домножая "истинные" генераторы на $i$: алгебра $su(n)$ состоит из косоэрмитовых матриц).

Комплексифицируя алгебру $su(n)$, мы получаем комплексную алгебру Ли $su(n)_\mathbb C$, изоморфную алгебре комплексных $n\times n$ матриц с нулевым следом (с обычным сложением и коммутатором $[a,b]=ab-ba$). Комплексная размерность всего векторного пространства $n\times n$ матриц есть $n^2$, условие нулевого следа понижает её на $1$, и поэтому если мы добавим туда ещё единичную матрицу, которая там не лежит, то увеличим размерность на $1$ и тем самым получим всё пространство $n\times n$ матриц. В таком случае, конечно, любую матрицу можно будет представить в виде линейной комбинации единичной матрицы и элемента из нашей алгебры (который, в свою очередь, линейно выразится через генераторы). В том числе и матричные произведения генераторов можно будет так представить.

В общем случае можно делать так же: посмотреть на матричную алгебру и расширить её, чтобы матричные произведения все туда попали. Но не факт, что будет достаточно добавить какую-то одну матрицу (и тем более не факт, что достаточно добавить единичную). Я думаю, что легко подобрать пример, чтобы одной не хватало, но пока не подобрал.

-- 25.01.2018, 12:22 --

$so(3)_\mathbb C$ вроде пойдёт, проверьте, если интересно.

Вы видите меня насквозь

Да, под группой я подразумевал матричную группу. Проверил на алгебрах $so(3)_\mathbb C$ и $so(3)_\mathbb R$ - разложить произведения генераторов по генераторам нельзя. В общем, получается что ответ на мой вопрос отрицателен. Кроме групп $SU(n)$, по-видимому, другие неабелевы группы не допускают разложения произведений генераторов по самим генераторам. Жаль...

Большое спасибо за ответы.

[Slav-27]

VladTK в сообщении #1287374 писал(а):

Кроме групп $SU(n)$, по-видимому, другие неабелевы группы не допускают разложения произведений генераторов по самим генераторам.

Даже $SU(n)$ не допускают, потому что единичная матрица не лежит в $su(n)$.

[VladTK]

Slav-27 в сообщении #1287422 писал(а):

VladTK в сообщении #1287374 писал(а):

Кроме групп $SU(n)$, по-видимому, другие неабелевы группы не допускают разложения произведений генераторов по самим генераторам.

Даже $SU(n)$ не допускают, потому что единичная матрица не лежит в $su(n)$.

Вы правы. Я просто неверно сформулировал свой вопрос и потому получил малополезные для меня ответы.

Собственно, мне требуется построить такую систему операторов $\hat{A}^{a}$ ($a$ здесь нумерующий индекс от 0 до $N_a$ - числа таких операторов и $\hat{A}_0=\hat{I}$) из генераторов группы, что она позволяла бы разложить произведения операторов с генераторами по самим операторам

$$ \hat{A}^{a} T^{b}=\sum \limits^{N_a}_{c=0} h_{abc} \hat{A}^{c}$$

$$ T^{b} \hat{A}^{a}=\sum \limits^{N_a}_{c=0} g_{bac} \hat{A}^{c}$$

где $h_{abc},g_{abc}$ - некоторые константы.

[Slav-27]

Ну хорошая новость -- так всегда можно сделать. Например взять генераторы и дополнить их до базиса всего пространства матриц, или даже не всего пространства, а только обёртывающей алгебры, то есть алгебры, порождённой генераторами и всевозможными матричными произведениями.

А вам точно это надо? А то если это физика, можно у физиков попробовать что-нибудь спросить.

[пианист]

Если речь о произвольном $T$, то, боюсь, именно придется до всего пространства дополнять.
$x_a \hat{A}^{a}$ будет при таких условиях двусторонним идеалом, а в кольце матриц нет нетривиальных двусторонних идеалов.

[VladTK]

Slav-27 в сообщении #1287515 писал(а):

Ну хорошая новость -- так всегда можно сделать. Например взять генераторы и дополнить их до базиса всего пространства матриц, или даже не всего пространства, а только обёртывающей алгебры, то есть алгебры, порождённой генераторами и всевозможными матричными произведениями...

А что-нить конструктивное есть? Т.е. есть ли некий алгоритм дополнения алгебры генераторов до базиса всех матриц? Скажем, какие операторы нужно добавить для группы $SO(n)$?

Slav-27 в сообщении #1287515 писал(а):

...А вам точно это надо? А то если это физика, можно у физиков попробовать что-нибудь спросить.

Это физика. И мне это надо - это один из необходимых этапов решения моей задачи.

пианист в сообщении #1287517 писал(а):

Если речь о произвольном $T$, то, боюсь, именно придется до всего пространства дополнять.
$x_a \hat{A}^{a}$ будет при таких условиях двусторонним идеалом, а в кольце матриц нет нетривиальных двусторонних идеалов.

Необязательно двусторонний идеал. Генераторы группы составляют только подмножество $\hat{A}_a$.

[Slav-27]

VladTK в сообщении #1287724 писал(а):

Т.е. есть ли некий алгоритм дополнения алгебры генераторов до базиса всех матриц?

Конечно есть. Ваш вопрос: у меня есть базис линейного подпространства, есть ли алгоритм, позволяющий дополнить до базиса всего пространства? Ну например запишите компоненты базисных векторов в матрицу $A$ и решите уравнение $Ax=0$; стандартный алгоритм линейной алгебры даст вам базис ортогонального дополнения.

VladTK в сообщении #1287724 писал(а):

Скажем, какие операторы нужно добавить для группы $SO(n)$?

Там вообще всё просто: базис $n\times n$ матриц составляют матричные единицы $E_{ij}$ (это у которых все элементы нули, кроме $ij$, который $1$). Базис $so(n)$ составляют разности $E_{ij}-E_{ji}$ ($i<j$). Очевидно, как можно дополнить...