Помощь с нелинейным Диофантовым уравнением

[LxxL]

Всем доброго дня!
Нужна помощь в решении Диофантовых уравнений. Уровень знаний - школьные забытые, но потихоньку востанавливаю память. Жизнь подбросила уравнение такого вида:
$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
Нашел на зарубежном ресурсе метод решения, но видно знаний не хватает, чтобы разобраться.
Так как коэффициенты в моих задачах остаются неизменными (меняется только $F$, а $C = 0$) разбираюсь с примером попроще.
$x^2+3xy+x+2y-81=0$
На упомянутом выше ресурсе есть калькулятор для решений этих уравнений. В режиме step-by-step доходит до такой формы:

$(-9){x_1}^2+{y_1}^2+2924=0$

А далее уже идет ответ, а как такое решается не приведено. Можно организовать метод перебора, выделив одну переменную через другую, но при больших значений F, перебор будет занимать много времени. Может это можно сделать по другому?
Заранее благодарю

Все формулы оформляйте. Исправлено дополнительно.

[thething]

Ваше уравнение можно представить в виде $(3x-y)(3x+y)=2924$

[LxxL]

thething
Благодарю!
Все оказалось еще хуже. Как я понял все сводится к факторизации числа 2924

[thething]

LxxL
В данном случае вариантов всего около 6

[LxxL]

thething
Ну это данный случай, с большими числами придется мучатся. Надеялся, что найдется способ попроще

[wrest]

LxxL в сообщении #1287028 писал(а):

Может это можно сделать по другому?

Я бы предложил так.

LxxL в сообщении #1287028 писал(а):

$-9{x_1}^2+{y_1}^2+2924=0$

Записываем в виде (индексы у переменных опускаю чтобы меньше писать):
$y^2-9x^2=-2924$
$(y-3x)(y+3x)=-2924$
Далее факторизуем правую часть
$2924=2\cdot 2\cdot 17 \cdot 43$
Выписываем делители
$1;2;4;17;34;43;68;89;172;731;1462;2924$
Произведения могут соответственно быть такие
$1\cdot 2924; 2 \cdot 1462; 4 \cdot 731$ и так далее.
Теперь перебирать меньше.
Пробуем например $(y-3x)(y+3x)=-4\cdot 731$
$y-3x=-4$
$y+3x=731$
складываем, получаем $2y=727$. Не подходит, должно быть четное.
Четные будут только два, так что перебор сводится теперь только к ним: $2 \cdot 1462; 34 \cdot 86$
Разбираемся с $2 \cdot 1462$. Имеем (не забываем что произведение у нас отрицательное)
$y-3x=-2$
$y+3x=1462$
$2y=1460;y=730;6x=1464;x=244$
Теперь берем $34 \cdot 86$
Сами посчитаете?

[thething]

Можно попробовать заменить $3x-y=n$, $3x+y=n+2y$, $n(n+2y)=2924$, а потом смотреть с позиций четности/нечетности $n$

[Otta]

LxxL в сообщении #1287028 писал(а):

На упомянутом выше ресурсе есть калькулятор для решений этих уравнений. В режиме step-by-step доходит до такой формы:
$(-9){x_1}^2+{y_1}^2+2924=0$

Это (и до этого, и далее) плохой путь, все усложняющий.
А случай ($C=0$) у Вас хороший. Решите исходное уравнение относительно $y$, оно по $y$ линейно. Получится что-то целое плюс некая дробь. А Вам надо, чтобы $y$ был целым. Ну и посмотрите, при каких $x$ это произойдет.

[thething]

Или так $3x-y=n$, $3x+y=m$. Вычитая из второго уравнения первое, получаем, что $2y=m-n$, т.е. разность делителей должна быть четной, что сокращает варианты

[wrest]

thething в сообщении #1287053 писал(а):

т.е. разность делителей должна быть четной, что сокращает варианты

Да, тут боле сильное ограничение что сумма делителей должна быть кратной 6. Но в конкретном примере обе пары делителей подходят.

[thething]

wrest
Уже проще, ТС же не хотел слишком много перебирать... Или я не понял вопроса и ТС интересовался общими методами решения любого такого уравнения

[Otta]

thething
Для любого такого эти методы не прокатят даже при малых $F$, которых ТС не опасается (например, в уравнении Пелля), а для того случая, который его интересует ($C=0$) доводить до такого состояния, чтобы потом его преодолевать, совершенно ни к чему.

[thething]

Otta
Ну да, тут повезло, что разность квадратов получилась и правая часть не слишком мала (можно рассчитывать на существование решения). Но Ваш способ, конечно, проще

[LxxL]

wrest
И Вам спасибо!
Как раз факторизации я и пугаюсь. Большие числа - большие проблемы.

Занимался извратом: представил 2924, как 36F+8, получил такое уравнение:

$y^2-9(x^2-4F)=-8$ Представил значение в скобках как t, имею:
$y^2-9t=-8$
проанализировав, заметил, что решение есть, когда t задается формулой $9n^2-2n+1$, где n - целые положительные числа

$x^2-4F=t$ отсюда t+4F должно нацело извлекается из корня. Проделав некоторые преобразования получил еще одну формулу, которой задается t, при котором значения нацело извлекается из корня, для моего случая выглядит так:
$K^2+36k$

Приравнивая две формулы, получаю еще одно Диофантово уравнение, которое еще все более усложнило )))

-- 24.01.2018, 13:33 --

Otta
Благодарю!
Но это опять, как я понял, перебор значений. Я надеялся, что есть какая нибудь методика, сделав определенные преобразования, подставив коэффициенты имеющие и полученные получить результат, хотя бы на определенном (заданном) промежутке.
При малом значение F все легко найдется перебором, а если это число в какой нибудь большой степени, то перебор очень времязатратен

-- 24.01.2018, 13:39 --

Otta
Благодарю!
Но это опять, как я понял, перебор значений. Я надеялся, что есть какая нибудь методика, сделав определенные преобразования, подставив коэффициенты имеющие и полученные получить результат, хотя бы на определенном (заданном) промежутке.
При малом значение F все легко найдется перебором, а если это число в какой нибудь большой степени, то перебор очень времязатратен

[vpb]

Вы хотите научиться решать, более-менее быстро с вычислительной точки зрения, уравнения вида $f(x,y)=A$, где $f(x,y)$ --- квадратичное выражение, коэффициенты которого постоянные и небольшие, а $A$ --- параметр (большое число, вообще говоря). Я сам не специалист по теории чисел, но мне кажется, что эта задача должна быть более-менее эквивалентна факторизации, по вычислительной сложности. Во всяком случае, в одну сторону это очевидно, так как задача факторизации --- это частный случай задач такого типа, а именно задача об уравнении $xy=A$. Вроде бы и в другую сторону тоже, т.е. если уметь быстро раскладывать числа на множители, то это даст способ и быстро решать квадратные диофантовы уравнения. Но это я точно не знаю.

Во всяком случае, вычислительная теория чисел --- большая и сложная, и к тому же активная область. Не знаю, в курсе Вы или нет, но большие числа на простые множители перебором не раскладывают уже по крайней мере лет 50. Если Вы хотите какую-то задачу из этой области решить, то знаний надо намного больше, чем полузабытые школьные. Заинтересуетесь --- можете спросить специалистов, что почитать и т.д. (на форуме такие есть).