Упрощение формулы с факториалами.

[ARMICRON]

Никак не пойму преобразования.
http://img58.**invalid link**/my.php?image=mathmk8.png
Сначала расписал факториалы, затем сократил и вынес N, N сократилось, а в знаменателе получилось (1-(n-1)/N)*...*N. Не пойму в чём дело.

[Brukvalub]

Лень, да и опасно лезть на всякие файлообменные помойки...

[PAV]

PAV:

ARMICRON, картинки в качестве замен формул не допускаются правилами форума. Запишите формулы в сообщении, не забывая использовать нотацию TeX.

[ARMICRON]

$\frac{(N-n)!}{N!}\frac{(N+n)!}{N!}=\alpha$,\\ где N-число Авогадро. После сокращения:\\ $\frac{(1+1/N)\cdots(1+n/N)}{(1-1/N)\cdots(1-(n-1)/N)}=\alpha$\\ Логарифмируя и принимая во внимание, что $n/N\ll1$, находим\\ $2\left(\frac{1}{N}+\frac{2}{N}+\cdots+\frac{n-1}{N}\right)+\frac{n}{N}=\ln{\alpha}$\\ или $n^2/N=\ln{\alpha}$, откуда\\ $n=\sqrt{N\ln{\alpha}}=\sqrt{N}$
Застрял пока на первом преобразовании.

[Cervix]

А в чем собственно проблема? Все написано правильно - делайте преобрования последовательно и напишите, что вызывает трудности.

[ewert]

ARMICRON писал(а):

Сначала расписал факториалы, затем сократил и вынес N, N сократилось, а в знаменателе получилось (1-(n-1)/N)*...*N. Не пойму в чём дело.

Откуда последний-то $N$? если к-во остающихся вверху и внизу скобок одинаково.

Возможно, сбивает с толку то, что фактическое к-во сомножителей в знаменателе после сокращения на единицу меньше; но это просто потому, что один из сомножителей там оказывается равным 1.

[ARMICRON]

$\frac{(N+1) \cdots (N+n)}{(N-n+1)\cdots (N)}$
разве неправильно?
я никак не пойму где я ошибся, если кто-нибудь объяснит как так сократили, то дальше я сам смогу

[ewert]

ARMICRON писал(а):

$\frac{(N+1) \cdots (N+n)}{(N-n+1)\cdots (N)}$
разве неправильно?
я никак не пойму где я ошибся, если кто-нибудь объяснит как так сократили, то дальше я сам смогу

Сейчас -- всё правильно. И вверху, и внизу ровно по $n$ сомножителей. После вынесения за скобки $N$ и их сокращения все сомножители будут порядка единицы.

[Cervix]

Правильно, теперь все делится на $N^n$ и получается так, как надо.