Математические обозначения(параметризация формы)

[SergeiSX]

Здравствуйте! Встретил во французском труде такие вот обозначения и привожу их перевод
$\omega $, некоторая форма, задаваемая набором открытых ограничений в области $\Omega \in {R^d},d = 2,3$. Вопрос первый - открытые ограничения это некоторые неравенства ?
Далее следует параметризация процесса изменения формы:
Задается $\omega _0$ как некоторая начальная область (хотя сначала ее называли формой?).
Задается $\omega = (Id + \theta )(\omega _0)$ при $\theta \in C^{1} (R^{d},R^{d})$ как область деформации. Здесь возникает вопрос как понимать обозначение $\omega = (Id + \theta )(\omega _0)$ где $Id$ очевидно тождественный оператор? И как правильно интерпретировать $C^{1} (R^{d},R^{d})$
Наконец определяется некоторая стоимостная функция $J$, с помощью которой определяется влияние изменения границы $\omega$.
Теперь следует вновь не совсем понятная фраза.
Градиент формы $J$ по $\omega _0$ это дифференциал (в смысле Фреше), который обозначается $D_{F}J(\omega _0)$ это функция $\theta \mapsto J((Id + \theta)(\omega _0))$ в 0, то есть:
$J((Id + \theta)(\omega _0)) = J(\omega _0) + D_{F}J(\omega _0)(\theta) + o(\theta)$.
Мне эта фраза в принципе не очень понятна и не очевиден вывод, хотя смысл производной Фреше я вроде бы понял. То есть выражение выше выводится из не совсем понятных предпосылок на мой взгляд. Или я просто не имею достаточных знаний...
Ссылка на французский исходник http://dropmefiles.com/nUTat 6 лист внизу. (стр 47)
Буду рад любой помощи!

[Vince Diesel]

Первое вроде очевидно: область $\omega$ является образом отображения $x\in \omega_0\to x+\theta(x)$, где $\theta(x)=(\theta_1(x),\ldots,\theta_d(x))$ и $\theta_i(x)\in C^1(\mathbb R^d)$.

[SergeiSX]

Vince Diesel, извините, но не совсем понятно зачем применять $Id$. И как читается и что обозначает $C^{1}(R^{d}, R^{d})$. И даже $C^{1}(R^{d})$ мне не совсем понятно.

[Vince Diesel]

SergeiSX в сообщении #1286747 писал(а):

зачем применять $Id$

Это же "возмущение" исходной области. Если функция $\theta$ мала, то и $\omega$ будет мало отличаться от $\omega_0$. Скажем, если функция постоянна, $\theta\equiv\bar a$, то $\omega$ получается из $\omega_0$ сдвигом на вектор $\bar a$.

SergeiSX в сообщении #1286747 писал(а):

И как читается и что обозначает $C^{1}(R^{d}, R^{d})$. И даже $C^{1}(R^{d})$ мне не совсем понятно.

Пространство $C^1(\mathbb R^d)$ это пространство функций $f:\,\mathbb R^n\to\mathbb R$, имеющих непрерывные производные первого порядка. Пространство $C^1(\mathbb R^d,\mathbb R^d)$ -- то же самое, только для функций $f:\,\mathbb R^d\to\mathbb R^d$. Как я и написал выше.

[SergeiSX]

Vince Diesel, большое спасибо! Многое стало понятно. Еще бы хотел задать несколько вопросов, если еще не слишком надоел. Просто с функциональным анализом имел дело не так много. Хочу проверить свое понимание данной ситуации в целом. Если я правильно понял то данная параметризация формы основана на дифференциале Фреше. Причем дифференциал Фреше применяется к стоимостной функции. Стоимостная функция рассматривается как оператор, то есть $J:R^{d} \to R$. В моем случае мы имеем следующее соотношение:
$J((Id + \theta )(\omega _0)) - J(Id(\omega _0)) = D_{F}J(\omega _0)(\theta) + o(\theta)$
Из этого соотношения и следует выражение:
$J((Id + \theta)(\omega _0)) = J(\omega _0) + D_{F}J(\omega _0)(\theta) + o(\theta)$
В свете этого вопрос возникает по производной Фреше. По определению она является ограниченным линейным оператором, действующим из того же банахового пространства, из которого действует оператор, к которому она применяется в то же банахово пространство в которое действует исходный оператор, то есть: $D_{F}:R^{d} \to R$. Не совсем понятно тогда почему аргументом дифференциала Фреше является функция $\theta$? Ведь если смотреть соотношения выше то: $\theta \in C^{1}(R^{d}, R^{d})$. То есть $\theta \notin R^{d}$.

[Vince Diesel]

Исходный оператор $J(\theta)$ действует как раз на функции $\theta\in C^{1}(R^{d}, R^{d})$.

[SergeiSX]

Vince Diesel Спасибо! То есть в остальном я понял все правильно ?