2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ковариантная производная (Шутц)
Сообщение22.01.2018, 21:17 


28/08/13
521
В книге указанного автора "Геометрические методы математической физики" непонятно, как подъезжать к упражнениям:
Упр. 6.1 - как задать вообще, минуя $\bar{U}$ в определении для $ \nabla_{\bar{U}} \bar{W} $(6.2), величину $\nabla\bar{W}$ ?
Упр. 6.2 - как грамотно ввести в (6.6) базисный вектор $\bar{e}_i$, ведь нельзя же в определении (6.2) просто заменить $(1/\epsilon\to 0)$ на $\bar{e}_i=d/d\lambda$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная производная (Шутц)
Сообщение22.01.2018, 22:32 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
6.1. Шутц так всё подстроил, что это упражнение становится тривиальным — доказывать нечего.
Итак, $\nabla_{\bar U}\bar W$ есть векторное поле (для краткости: вектор). Определим скалярную функцию $\nabla \bar W$ от двух аргументов: 1-формы $\tilde\omega$ и вектора $\bar U$ как значение формы $\tilde\omega$ на векторе $\nabla_{\bar U}\bar W$:$$\nabla \bar W(\tilde \omega, \bar U):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle \eqno{(6.5)}$$Эта функция линейна по обоим аргументам, что следует из определения 1-формы и (6.4). Но, согласно пункту 2.22, такая функция и есть тензор типа $\binom 1 1$.
Так как Шутц нигде раньше не определял, что такое «просто $\nabla \bar W$», Вы не должны пытаться вывести (6.5) — это бескоординатное определение.

Предлагаю Вам ещё два упражнения.

6.1a. Показать, что $\nabla \bar W=(\nabla_{\bar e_i}\bar W) \otimes \tilde e^i$, где $\bar e_i, \tilde e^i$ — базисные векторы и 1-формы (я чуть отступаю от обозначений Шутца).

6.1b. Хотелось бы пойти ещё дальше и определить тензорное поле $\nabla$ типа $\binom 1 2$ так:$$\nabla(\tilde\omega, \bar U, \bar W):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle$$Показать, что так сделать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная производная (Шутц)
Сообщение23.01.2018, 00:21 


28/08/13
521
благодарю за столь оперативный ответ.
svv в сообщении #1286618 писал(а):
6.1a. Показать, что $\nabla \bar W=(\nabla_{\bar e_i}\bar W) \otimes \tilde e^i$, где $\bar e_i, \tilde e^i$ — базисные векторы и 1-формы (я чуть отступаю от обозначений Шутца).
6.1b. Хотелось бы пойти ещё дальше и определить тензорное поле $\nabla$ типа $\binom 1 2$ так:$$\nabla(\tilde\omega, \bar U, \bar W):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle$$

в этих обозначениях будет $$\tilde{\omega}=\omega_j\tilde{e}^j,$$ $$\bar{U}=U^i\bar{e}_i,$$
поэтому
$$\tilde{\omega}(\nabla_{\bar{U}}\bar{W})=\omega_j\tilde{e}^j(\nabla_{{\bar{U}^i\bar{e}_i}}\bar{W})=\omega_jU^i (\nabla{\bar{e}_i}\bar{W})\tilde{e}^j,$$ наверное, это можно написать и в виде прямого тензорного произведения с одинаковыми индексами, если не иметь ввиду правило суммирования по повторяющимся. Получается
$$\nabla}\bar{W}=(\nabla{\bar{e}_i}\bar{W})\tilde{e}^j,$$
поскольку в силу линейности тензор типа $(1,1)$ в виде компонентной функции должен давать $$T(\tilde{\omega},\bar{U})=T(\omega_j\tilde{e}^j,U^i\bar{e}_i)=\omega_jU^iT(\tilde{e}^j,\bar{e}_i)$$
Поле $$\nabla(\tilde\omega, \bar U, \bar W):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle$$ не будет тензорным из-за отсутствия линейности по $\bar{W}$ при преобразовании координат: множители матрицы преобразования при векторе $U$ поднимутся множителем наверх, а при векторе $\bar{W}$ не только вынесутся, но ещё и добавят слагаемое $\tilde \omega((d\Lambda/d\lambda))\bar{W}.$ Написано без индексов, $d/d\lambda=U^i\partial_i$ и матричное умножение подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантная производная (Шутц)
Сообщение23.01.2018, 01:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
6.1a. Да. Известно (см. самое начало пункта 2.24), что если $\textsf T=\bar p\otimes\tilde \sigma$, то$$\textsf T(\tilde \omega, \bar v)=\langle \tilde\omega, \bar p \rangle \langle \tilde \sigma, \bar v\rangle,$$поэтому$$(\nabla_{\bar e_i}\bar W \otimes \tilde e^i) (\tilde \omega, \bar v)=\langle \tilde\omega, \nabla_{\bar e_i}\bar W \rangle \langle \tilde e^i, \bar v\rangle=\langle \tilde\omega, \nabla_{\bar e_i}\bar W \rangle v^i=\langle \tilde\omega, \nabla_{v^i\bar e_i}\bar W \rangle = \langle \tilde\omega, \nabla_{\bar v}\bar W \rangle$$

6.1b. Да, Вы правы. Такая функция линейна по $\bar W$ лишь в смысле $$f(a \bar u+b \bar v)=a f(\bar u)+b f(\bar v),$$ где $a, b$ константы. Между тем, Шутц требует (пункт 2.22):
Цитата:
Свойство линейности тензоров распространяется и на тензорные поля, причём числа $a$ и $b$ в (2.29) в разных точках могут быть различными — они являются функциями на $M$.


Перейдём к упражнению 6.2.
Из формулы (6.6) следует $\Gamma^{k'}_{j'i'}=\langle \tilde e^{k'}, \nabla_{\bar e_{i'}}\bar e_{j'}\rangle$, и аналогично для нештрихованного базиса. Выразите здесь штрихованные базисные векторы и 1-формы через нештрихованные и воспользуйтесь формулой (6.3a), точнее, только её левой и «средней» частью, без правой.
На мой взгляд, дальнейшие пояснения Шутца под формулой, которую надо доказать, излишни, всё получается и без них.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group