Ковариантная производная (Шутц)

[Ascold]

В книге указанного автора "Геометрические методы математической физики" непонятно, как подъезжать к упражнениям:
Упр. 6.1 - как задать вообще, минуя $\bar{U}$ в определении для $ \nabla_{\bar{U}} \bar{W} $(6.2), величину $\nabla\bar{W}$ ?
Упр. 6.2 - как грамотно ввести в (6.6) базисный вектор $\bar{e}_i$, ведь нельзя же в определении (6.2) просто заменить $(1/\epsilon\to 0)$ на $\bar{e}_i=d/d\lambda$?

[svv]

6.1. Шутц так всё подстроил, что это упражнение становится тривиальным — доказывать нечего.
Итак, $\nabla_{\bar U}\bar W$ есть векторное поле (для краткости: вектор). Определим скалярную функцию $\nabla \bar W$ от двух аргументов: 1-формы $\tilde\omega$ и вектора $\bar U$ как значение формы $\tilde\omega$ на векторе $\nabla_{\bar U}\bar W$:

$$\nabla \bar W(\tilde \omega, \bar U):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle \eqno{(6.5)}$$

Эта функция линейна по обоим аргументам, что следует из определения 1-формы и (6.4). Но, согласно пункту 2.22, такая функция и есть тензор типа $\binom 1 1$.
Так как Шутц нигде раньше не определял, что такое «просто $\nabla \bar W$», Вы не должны пытаться вывести (6.5) — это бескоординатное определение.

Предлагаю Вам ещё два упражнения.

6.1a. Показать, что $\nabla \bar W=(\nabla_{\bar e_i}\bar W) \otimes \tilde e^i$, где $\bar e_i, \tilde e^i$ — базисные векторы и 1-формы (я чуть отступаю от обозначений Шутца).

6.1b. Хотелось бы пойти ещё дальше и определить тензорное поле $\nabla$ типа $\binom 1 2$ так:

$$\nabla(\tilde\omega, \bar U, \bar W):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle$$

Показать, что так сделать нельзя.

[Ascold]

благодарю за столь оперативный ответ.

svv в сообщении #1286618 писал(а):

6.1a. Показать, что $\nabla \bar W=(\nabla_{\bar e_i}\bar W) \otimes \tilde e^i$, где $\bar e_i, \tilde e^i$ — базисные векторы и 1-формы (я чуть отступаю от обозначений Шутца).
6.1b. Хотелось бы пойти ещё дальше и определить тензорное поле $\nabla$ типа $\binom 1 2$ так:

$$\nabla(\tilde\omega, \bar U, \bar W):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle$$

в этих обозначениях будет

$$\tilde{\omega}=\omega_j\tilde{e}^j,$$

$$\bar{U}=U^i\bar{e}_i,$$

поэтому

$$\tilde{\omega}(\nabla_{\bar{U}}\bar{W})=\omega_j\tilde{e}^j(\nabla_{{\bar{U}^i\bar{e}_i}}\bar{W})=\omega_jU^i (\nabla{\bar{e}_i}\bar{W})\tilde{e}^j,$$

наверное, это можно написать и в виде прямого тензорного произведения с одинаковыми индексами, если не иметь ввиду правило суммирования по повторяющимся. Получается

$$\nabla}\bar{W}=(\nabla{\bar{e}_i}\bar{W})\tilde{e}^j,$$

поскольку в силу линейности тензор типа $(1,1)$ в виде компонентной функции должен давать

$$T(\tilde{\omega},\bar{U})=T(\omega_j\tilde{e}^j,U^i\bar{e}_i)=\omega_jU^iT(\tilde{e}^j,\bar{e}_i)$$

Поле

$$\nabla(\tilde\omega, \bar U, \bar W):=\langle \tilde \omega, \nabla_{\bar U}\bar W\rangle$$

не будет тензорным из-за отсутствия линейности по $\bar{W}$ при преобразовании координат: множители матрицы преобразования при векторе $U$ поднимутся множителем наверх, а при векторе $\bar{W}$ не только вынесутся, но ещё и добавят слагаемое $\tilde \omega((d\Lambda/d\lambda))\bar{W}.$ Написано без индексов, $d/d\lambda=U^i\partial_i$ и матричное умножение подразумевается.

[svv]

6.1a. Да. Известно (см. самое начало пункта 2.24), что если $\textsf T=\bar p\otimes\tilde \sigma$, то

$$\textsf T(\tilde \omega, \bar v)=\langle \tilde\omega, \bar p \rangle \langle \tilde \sigma, \bar v\rangle,$$

поэтому

$$(\nabla_{\bar e_i}\bar W \otimes \tilde e^i) (\tilde \omega, \bar v)=\langle \tilde\omega, \nabla_{\bar e_i}\bar W \rangle \langle \tilde e^i, \bar v\rangle=\langle \tilde\omega, \nabla_{\bar e_i}\bar W \rangle v^i=\langle \tilde\omega, \nabla_{v^i\bar e_i}\bar W \rangle = \langle \tilde\omega, \nabla_{\bar v}\bar W \rangle$$

6.1b. Да, Вы правы. Такая функция линейна по $\bar W$ лишь в смысле

$$f(a \bar u+b \bar v)=a f(\bar u)+b f(\bar v),$$

где $a, b$ константы. Между тем, Шутц требует (пункт 2.22):

Цитата:

Свойство линейности тензоров распространяется и на тензорные поля, причём числа $a$ и $b$ в (2.29) в разных точках могут быть различными — они являются функциями на $M$.

Перейдём к упражнению 6.2.
Из формулы (6.6) следует $\Gamma^{k'}_{j'i'}=\langle \tilde e^{k'}, \nabla_{\bar e_{i'}}\bar e_{j'}\rangle$, и аналогично для нештрихованного базиса. Выразите здесь штрихованные базисные векторы и 1-формы через нештрихованные и воспользуйтесь формулой (6.3a), точнее, только её левой и «средней» частью, без правой.
На мой взгляд, дальнейшие пояснения Шутца под формулой, которую надо доказать, излишни, всё получается и без них.