Задача о болотном гриппе (теорема Байеса)

[watmann]

Хоть с первого взгляда и кажется, что это классическая задача, на деле, есть подводные камни которые обойти не удалось.

Монгольский болотный грипп настолько редкий, что доктор ожидает встретить его раз в 10000. У больных всегда есть пятна (spots) и летаргия (lethargy). В 60% случаев больные мучаются жаждой (thirst) и в 20% сильно чихают (sneeze). При этом эти симптомы могут появляться и от других заболеваний: для пациентов у которых нету болотного гриппа вероятность появления пятен составляет 3%(spots), летаргии 10%(lethargy), жажды 2%(thirst) и 5%(sneeze) жалуются на постоянное чиханье. Эти четыре вероятности незаивисимы.

Показать что вероятность болеть гриппом составляет 80% если у пациента есть все 4 симптома. И 46% если есть все симптомы кроме чиханья.

Попытка решения:

Известно
$P(ill)=10^{-4}$
$P(lethargy|ill)=P(spots|ill)=1$
$P(thirst|ill)=0.6$
$P(sneeze|ill)=0.2$

$P(lethargy|NOTill)=0.1$
$P(spots|NOTill)=0.03$
$P(thirst|NOTill)=0.02$
$P(sneeze|NOTill)=0.05$

$P(ill|all)-?$

Используя теорему Байеса
$P(ill|all)=\frac{P(all|ill)\cdotP(ill)}{P(all|ill)\cdotP(ill)+P(all|NOTill)\cdot(1-P(ill))}$

$P(all|NOTill)=P(lethargy|NOTill)\cdotP(spots|NOTill)\cdotP(thirst|NOTill)\cdotP(sneeze|NOTill)=0.1\cdot0.03\cdot0.02\cdot0.05=3\cdot10^{-6}$

Вопрос заключается в том, как найти $P(all|ill)=P(lethargy+spots+thirst+sneeze|ill)$, если мы знаем что они зависимы.

Есть только одна идея:
$P(lethargy+spots+thirst+sneeze|ill)=\frac{P(lethargy+spots+thirst+sneeze+ill)}{P(ill)}$

$P(lethargy+spots+thirst+sneeze+ill)=P(ill)\cdotP(spots|ill)\cdotP(thirst|spots+ill)\cdotP(sneeze|thirst+spots+ill)\cdotP(lethargy|sneeze+spots+thirst+ill)$
Мы знаем что,
$P(thirst|spots+ill)=P(thirst|ill)$
$P(lethargy|sneeze+spots+thirst+ill)=P(lethargy|ill)$

И тут идея загибается, потому что неясно как посчитать вероятность $P(sneeze|thirst+spots+ill)=P(sneeze|thirst+ill)$

Может ли кто-то обьяснить как бороться с этой задачей?

Спасибо

p.s. Добавляю оригинальный текст задачи:
Mongolian swamp fever is such a rare disease that a doctor only expects to meet once in every 10000 patients. It always produced spots and acute lethargy in a patient; in 60% of cases, they suffer from thirst and in 20% of cases from violent sneezes. These symptoms can arise from other causes: of patients that do not have this disease, 3% have spots, 10% are lethargic, 2% thirsty and 5% complain of sneezing. These four probabilities are independent.

Show that if you go to the doctor with all these symptoms, the probability of you having Mongolian swamp fever is 80% and that if you have all except sneezing the probability is 46%.

[Lia]

Независимость есть и в том, и в том случаях.

[watmann]

Lia писал(а):

Независимость есть и в том, и в том случаях.

Если считать их независимыми в обоих случаях, то для второго вопроса будет следующее решение:
$P(ill|lethargy+spots+thirsty)=\frac{P(lethargy+spots+thirsty|ill)\cdotP(ill)}{P(lethargy+spots+thirsty)}$
$P(lethargy+spots+thirsty|ill)=P(lethargy|ill)\cdotP(spots|ill)\cdotP(thirsty|ill)=1\cdot1\cdot0.6=0.6\$

$P(lethargy+spots+thirsty)=P(letahrgy|ill)\cdot P(spots|ill) \cdot P(thirsty|ill)\cdot P(ill)+P(letahrgy|NOTill) \cdot P(spots|NOTill) \cdot P(thirsty|NOTill)\cdot (1-P(ill))=1\cdot1\cdot0.6\cdot 10^{-4}+0.1\cdot0.02\cdot0.03\cdot(1-10^{-4})=0.000119=1.2\cdot 10^{-4}$

$P(ill|lethargy+spots+thirsty)=\frac{0.6 \cdot 10^{-4}}{1.2\cdot 10^{-4}}=0.5$

Получается 50% и никаким образом не 46%.

Да и явно наличие пятен и летаргии долно увеличивать вероятность жажды.

[Lia]

watmann
Не, а чиханье-то Вы куда дели? Его нет!

-- 20.01.2018, 01:23 --

watmann в сообщении #1285809 писал(а):

Да и явно наличие пятен и летаргии долно увеличивать вероятность жажды.

Не должно. Сказал сержант - независимы, значит, независимы.

[watmann]

Lia писал(а):

Не, а чиханье-то Вы куда дели? Его нет!

Никуда не дела, это просто второй вопрос, где исключается чиханье.

Цитата:

И 46% если есть все симптомы кроме чиханья.

Я тоже думала, что должно быть всё независимо по-началу, но когда дошла до второго вопроса, поняла, что там независимость правильный ответ не дает, а значит изначально есть какой-то подводный камень связанный с зависимость симптомов у больного человека.

[Lia]

watmann в сообщении #1285813 писал(а):

Никуда не дела, это просто второй вопрос, где исключается чиханье.

Так его нет, а не наплевать, есть оно или нет.

watmann в сообщении #1285813 писал(а):

Я тоже думала, что должно быть всё независимо по-началу, но когда дошла до второго вопроса, поняла, что там независимость правильный ответ не дает, а значит

могло быть неверным и решение.

[watmann]

Lia писал(а):

Так его нет, а не наплевать, есть оно или нет.

Тут, я не очень поняла. Ну да, нет симптома, а значит просто нужно вычислить вероятность болезни если есть три других.

Lia писал(а):

могло быть неверным и решение.

Может и могло... Ещё раз приведу решение тогда:

$P(ill|lethargy+spots+thirsty)=\frac{P(lethargy+spots+thirsty|ill)\cdot P(ill)}{P(lethargy+spots+thirsty)}$
$P(lethargy+spots+thirsty|ill)=P(lethargy|ill)\cdot P(spots|ill)\cdot P(thirsty|ill)=1\cdot1\cdot 0.6=0.6$
$P(lethargy+spots+thirsty)=P(letahrgy|ill)\cdot P(spots|ill) \cdot P(thirsty|ill)\cdot P(ill)+P(letahrgy|NOTill) \cdot P(spots|NOTill) \cdot P(thirsty|NOTill)\cdot (1-P(ill))=1\cdot1\cdot0.6\cdot 10^{-4}+0.1\cdot0.02\cdot0.03\cdot(1-10^{-4})=0.000119=1.2\cdot 10^{-4}$

$P(ill|lethargy+spots+thirsty)=\frac{0.6 \cdot 10^{-4}}{1.2\cdot 10^{-4}}=0.5$

[Lia]

watmann
Вам что дано, что пациент пятнист, в спячке и с жаждой, или
что пациент пятнист, в спячке и с жаждой и не чихает?

Вы же просто игнорируете информацию. Естественно, это влияет на ответ.

[watmann]

Lia писал(а):

Вам что дано, что пациент пятнист, в спячке и с жаждой, или
что пациент пятнист, в спячке и с жаждой и не чихает?
Вы же просто игнорируете информацию. Естественно, это влияет на ответ.

Да, это я конечно затупила. Большое спасибо, а то я уже 2 дня пытаюсь понять, что я делаю не так, а теперь всё прекрасно сошлось и мне кажется теперь я лучше понимаю как такие задачи решать.

$P(ill|lethargy+spots+thirsty+NOTsneeze)=\frac{P(lethargy+spots+thirsty+NOTsneeze|ill)\cdot P(ill)}{P(lethargy+spots+thirsty+NOTsneeze)}$
$P(lethargy+spots+thirsty+NOTsneeze|ill)=P(lethargy|ill)\cdot P(spots|ill)\cdot P(thirsty|ill) \cdot P(NOTsneeze|ill)=1\cdot1\cdot 0.6 \cdot 0.8=0.48$
$P(lethargy+spots+thirsty+NOTsneeze)=P(letahrgy|ill)\cdot P(spots|ill) \cdot P(thirsty|ill)\cdot P(NOTsneeze|ill) \cdot P(ill) +P(letahrgy|NOTill) \cdot P(spots|NOTill) \cdot P(thirsty|NOTill) \cdot P(NOTsneeze|NOTill)\cdot (1-P(ill))=1\cdot1\cdot0.6\cdot 0.8\cdot 10^{-4}+0.1\cdot0.02\cdot0.03\cdot (1-0.05) \cdot(1-10^{-4})=0.000119=(0.48+0.57)\cdot 10^{-4}=1.05\cdot 10^{-4}$

$P(ill|lethargy+spots+thirsty)=\frac{0.48 \cdot 10^{-4}}{1.05\cdot 10^{-4}}=0.457=0.46$