Ближайшая точка на прямой

[Rushi]

Дана прямая g=(-4,10 )+t(-8,10) и три точки (0,7),(5,6),(6,0). Надо найти к каждой точке ближайшую от нее точку на заданной прямой. Подскажите пожалуйста с чего хоть начать?

[ewert]

поскольку задача двумерна -- проще всего по-школьному: записать уравнение исходной прямой в стандартном виде, провести через каждую точку перпендикулярную прямую и найти пересечение.

[Rushi]

ewert писал(а):

поскольку задача двумерна -- проще всего по-школьному: записать уравнение исходной прямой в стандартном виде, провести через каждую точку перпендикулярную прямую и найти пересечение.

в "подсказке" к заданию написанно, что надо найти расстояние между какой нибуть точкой на прямой(прямая должна быть как у меня в пространстве) к заданным точкам и записать как функции параметров...
Вот не понимаю, что это значит, расстояния нашла и дальше?? или какую-то специальную формулу чтобы найти расстояния нужно?

[ewert]

Rushi писал(а):

в "подсказке" к заданию написанно, что надо найти расстояние между какой нибуть точкой на прямой(прямая должна быть как у меня в пространстве) к заданным точкам и записать как функции параметров...
Вот не понимаю, что это значит, расстояния нашла и дальше?? или какую-то специальную формулу чтобы найти расстояния нужно?

Можно и так (хоть подсказка и неэстетична).

Смысл подсказки. Уравнение у Вас параметрическое: $g=(x,y)$ -- это точка. Надо стандартно записать квадрат расстояния от неё до требуемой точки, получится квадратичное выражение отн. $t$, его и надо минимизировать. А потом подставить найденное $t$ обратно в уравнение.

[Архипов]

Как я понял, дана точка G(-4,10) на прямой и направляющий вектор из начала координат в точку T(-8,10).
Чертим на координатной сетке прямую, пересекающую оси в точках Х=4, У=5. Точка (5,6) далеко, сравниваем расстояния от двух точек, лежащих на осях. Прямая, перпендикуляры к точкам и оси координат образуют прямоугольные треугольники, катеты которых относятся друг к другу как 4:5, а гипотенузы равны 2. Ближайшая к прямой точка та, у которой катет - 4 доли.

[Архипов]

Можно и так посчитать: две ближайшие точки лежат по одну сторону от прямой, тангенс угла наклона прямой 5/4, а тангенс угла наклона прямой, проведенной через две ближайшие точки, 7/6, то есть меньше. Точка (0,7) ближе.

[ewert]

Ну уж если говорить о том, как решать такие задачи грамотно, то тут без вариантов (т.е. вариант только один). Имеем направляющий вектор прямой $\vec v=(-8,10)$ и точку на прямой $M(-4,10 )$. Для точки, например, $A(0,7)$ следует взять вектор $\vec r_A=\overrightarrow{MA}$ и найти для него "векторную проекцию"

$${\vec r_A\cdot\vec v\over\vert\vec v\vert^2}\;\vec v$$

. А потом прибавить полученный вектор к точке $M$ -- это и будет проекция точки $A$ на прямую.

[Rushi]

ewert писал(а):

Ну уж если говорить о том, как решать такие задачи грамотно, то тут без вариантов (т.е. вариант только один). Имеем направляющий вектор прямой $\vec v=(-8,10)$ и точку на прямой $M(-4,10 )$. Для точки, например, $A(0,7)$ следует взять вектор $\vec r_A=\overrightarrow{MA}$ и найти для него "векторную проекцию"

$${\vec r_A\cdot\vec v\over\vert\vec v\vert^2}\;\vec v$$

. А потом прибавить полученный вектор к точке $M$ -- это и будет проекция точки $A$ на прямую.

спасибо за подсказку. Наверно воспользуюсь этим вариантом.

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 3 секунды:

ewert писал(а):

Rushi писал(а):

в "подсказке" к заданию написанно, что надо найти расстояние между какой нибуть точкой на прямой(прямая должна быть как у меня в пространстве) к заданным точкам и записать как функции параметров...
Вот не понимаю, что это значит, расстояния нашла и дальше?? или какую-то специальную формулу чтобы найти расстояния нужно?

Можно и так (хоть подсказка и неэстетична).

Смысл подсказки. Уравнение у Вас параметрическое: $g=(x,y)$ -- это точка. Надо стандартно записать квадрат расстояния от неё до требуемой точки, получится квадратичное выражение отн. $t$, его и надо минимизировать. А потом подставить найденное $t$ обратно в уравнение.

можно пожалуйста подробнее про квадратичное расстояние и как оно вместе с t будет, не поняла..

[Алексей К.]

Rushi писал(а):

ewert писал(а):

стандартно записать квадрат расстояния...
получится квадратичное выражение

можно пожалуйста подробнее про квадратичное расстояние и как оно вместе с t будет, не поняла..

Заметьте --- ewert про квадратичное расстояние ничего не писал --- Вы его придумали сами.

Rushi писал(а):

(а я чуть поправил). Дана прямая $g(t)=(-4,10 )+t(-8,10)$ и три точки $a=(0,7)$, $b=(5,6)$, $c=(6,0)$.

Пора уже сообщить общественности, как Вы себе представляете расстояние между двумя точками, например любой точкой из тех, что названы $g(t)$, и точкой $a$. Ну, или квадрат этого расстояния --- что для Вас проще...

[Rushi]

Алексей К. писал(а):

Rushi писал(а):

ewert писал(а):

стандартно записать квадрат расстояния...
получится квадратичное выражение

можно пожалуйста подробнее про квадратичное расстояние и как оно вместе с t будет, не поняла..

Заметьте --- ewert про квадратичное расстояние ничего не писал --- Вы его придумали сами.

Rushi писал(а):

(а я чуть поправил). Дана прямая $g(t)=(-4,10 )+t(-8,10)$ и три точки $a=(0,7)$, $b=(5,6)$, $c=(6,0)$.

Пора уже сообщить общественности, как Вы себе представляете расстояние между двумя точками, например любой точкой из тех, что названы $g(t)$, и точкой $a$. Ну, или квадрат этого расстояния --- что для Вас проще...

расстояние между точками находить умею.
Всем спасибо уже во всем разобралась!