2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Orthonormal system/basis
Сообщение21.06.2008, 22:04 
Is it true that an orthonormal system $\{e_i|i \in \mathbb{N}\}$ in separable Hilbert's space H is an orthonormal basis (full orthonormal system)? If true, how to prove it?

 
 
 
 
Сообщение21.06.2008, 22:33 
Неверно. Если верно, то доказать невозможно, не используя специфику системы.

Верно другое: сепарабельность равносильна существованию ортонормированного базиса.

 
 
 
 
Сообщение22.06.2008, 03:37 
Спасибо ewert.

 
 
 
 Re: Orthonormal system/basis
Сообщение22.06.2008, 14:24 
Аватара пользователя
Солунац писал(а):
Is it true that an orthonormal system $\{e_i|i \in \mathbb{N}\}$ in separable Hilbert's space H is an orthonormal basis (full orthonormal system)? If true, how to prove it?

take a basis of a Hilbert space and then exclude from this basis the elements $e_i$ with odd $i$:)

 
 
 
 
Сообщение22.06.2008, 14:26 
Зачем все нечётные? -- вполне достаточно выкинуть первый

 
 
 
 
Сообщение22.06.2008, 14:36 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Зачем все нечётные? --

штоп дольше думал :lol:

 
 
 
 
Сообщение22.06.2008, 15:07 
My apologies to moderator, but I think it would be better to go on in this topic in my next question.

It doesn't have anything with previous question, but I hope that's OK It goes like this:
If $Y$ is proper Hilbert's subspace of Hilbert's space $H$, then there exists non-zero vector who is orthogonal on $Y$. Prove.

If we suppose otherwise that doesn't exists such $x$ ($x\in H$ and $x\neq 0$ and $x$ is normal to $Y$), we have that $Y^\perp =0$. From $0^\perp =H$ and $H^\perp =0$ we have that $Y^\perp =H^\perp$.
But what then? $Y^\perp^\perp = H$, so $\overline{LinY} =H$ and ... ?

 
 
 
 
Сообщение22.06.2008, 16:30 
Солунац писал(а):
If $Y$ is proper Hilbert's subspace of Hilbert's space $H$, then there exists non-zero vector who is orthogonal on $Y$. Prove.

If we suppose otherwise that doesn't exists such $x$ ($x\in H$ and $x\neq 0$ and $x$ is normal to $Y$), we have that $Y^\perp =0$. From $0^\perp =H$ and $H^\perp =0$ we have that $Y^\perp =H^\perp$.
But what then? $Y^\perp^\perp = H$, so $\overline{LinY} =H$ and ... ?


...$Y$ - не собственое подпространство $H$. $LinY=Y$ и $\overline{Y}=Y$.

 
 
 
 
Сообщение22.06.2008, 17:24 
а да, ...

Спасибо Narn, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group