Теорема Хелли для бесконечных наборов множеств

[ikozyrev]

Решаю задачку:
Доказать теорему Хелли: если любые $n+1$ из набора выпуклых множеств имеют непустое пересечение, то все множества из этого набора пересекаются.

В случае конечного набора множеств доказательство довольно просто: за базу индукции берем очевидный факт что для мощности набора множеств $n+1$ теорема верна, а для шага индукции используем теорему Радона: создаем набор из n+2 точек, каждая из которых по предположению индукции находится в пересечении всех множеств, кроме какого-то одного, и делим этот набор на два поднабора; выпуклые оболочки этих наборов пересекаются по теореме Радона, и точка пересечения лежит в выпуклой оболочке соотвествующего набора, а значит и в пересечении множеств другого набора, и наоборот, то есть эта точка принадлежит всем множествам, что и требовалось.
Для бесконечного же набора множеств, имеем дополнительное ограничение на множества - все они замкнуты и хотя бы одно компактно.

Как я понимаю, для случая бесконечного набора нам надо только дополнительно проверить что бесконечное семейство множеств имеет непустое пересечение, а это гарантируется замкнутостью этих множеств и наличием одного ограниченного множества (которое компактно)?

[vpb]

Это вопрос чисто топологический. Есть такое свойство компактов. Пусть $X$ --- компакт, $\{X_i\mid i\in I\}$ --- любое семейство его замкнутых подмножеств. Допустим, что для каждого конечного подсемейства $\{X_i\mid i\in J\}$, $|J|<\infty$, пересечение $\cup_{i\in J}X_i$ непусто. Тогда и пересечение всех $\cup_{i\in I}X_i$ тоже непусто. (Не знаю, как Вы знаете топологию, но это фактически одно из первых свойств компактов, фактически эквивалентное определению). Вот его и надо использовать.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1282353 писал(а):

Это вопрос чисто топологический. Есть такое свойство компактов. Пусть $X$ --- компакт, $\{X_i\mid i\in I\}$ --- любое семейство его замкнутых подмножеств. Допустим, что для каждого конечного подсемейства $\{X_i\mid i\in J\}$, $|J|<\infty$, пересечение $\cup_{i\in J}X_i$ непусто. Тогда и пересечение всех $\cup_{i\in I}X_i$ тоже непусто. (Не знаю, как Вы знаете топологию, но это фактически одно из первых свойств компактов, фактически эквивалентное определению). Вот его и надо использовать.

Да, я этим свойством компактов и пользуюсь, спасибо.