Сравнить выражения с корнями

[SpiderHulk]

Решая одно из уравнений я столкнулся с дополнительным условием, что корень должен быть меньше чем $\sqrt{7}/5$, проблемным корнем оказался корень $\sqrt{2}-1$, он меньше, но мне это удалось показать только сравнивая приближённые значения. Можно ли как то не прибегая к вычислению приближённых значений показать что он меньше? Мои содержательные попытки решения закончились на попытке сравнить выражения:
$\sqrt{50/25}-\sqrt{25/25}$ и $\sqrt{7/25}$

[thething]

Запишите неравенство (например) $\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{5}>\sqrt{2}-1$, преобразуйте до чего-то очевидного и получите либо верное неравенство, либо противоречивое

[Pphantom]

Обе части неравенств можно (при определенных условиях) возводить в квадрат.

[wrest]

SpiderHulk
Методы избавления от квадратных корней это возведение в квадрат и умножение суммы на разность. Или разности на сумму.
Можно применять последовательно.

Если у нас есть неравенство например $a<b$ и число $c$, то во-первых $a+c<b+c$ а если $c$ положительно, то $ac<bc$
Если $a$ и $b$ оба положительные, то $a^2<b^2$.
Так что операции прибавления числа к обоим частям неравенства, умножения обоих частей неравенства на положительное число, а также возведение обоих частей неравенства (если они положительные) в квадрат -- не меняет знак неравенства.

Если в обоих частях неравенства есть квадратные корни, то сперва надо избавиться от них в одной части неравенства, а затем в другой.

Если в одной части неравенства есть только произведение, часть множителей которого - квадратные корни, то избавиться от корней можно возведением в квадрат, предварительно убедившись что обе части неравенства больше нуля.
После этого корни останутся только в одной части неравенства (допустим это оказалась правая сторона). Тогда мы слагаемые без квадратных корней переносим вправо, где корней уже нет, и получаем неравенство с целыми числами справа и корнями слева. Опять убедившись в том что обе части неравенства все еще больше нуля, возводим их обе в квадрат и получаем неравенство без корней.

Другой способ -- домножить разность на сумму или сумму на разность. То есть воспользоваться формулой $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Если у нас в одной части неравенства есть сумма например $\sqrt{3}+1$ то домножаем её (и другую сторону неравенства естественно) на разность $\sqrt{3}-1$, получаем $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=9-1=8$ и корень пропал. Здесь надо следить за тем, что домножаем обе части неравенства на положительное число.

[B@R5uk]

Есть ещё один вариант проверить неравенство с корнями: подобрать множитель и оценить большее снизу, а меньшее сверху. Это концептуально как раз ближе всего к вашему вычислению приближённых значений.

Например, возьмём множитель 100:

$$20\sqrt{7} ... 100\sqrt{2} - 100$$

$$20\sqrt{7} = \sqrt{2800} > 52$$

$$100\sqrt{2} - 100 = \sqrt{20000} - 100 < 42$$

Откуда очевиден ответ. Можно взять и меньшее число. Тут даже возникает интересная побочная задача: какой минимальный множитель нужно взять, чтобы оценка начала работать?

Недостаток метода в том, что заранее тяжело угадать на сколько большое надо взять число в качестве множителя: чем ближе друг к другу величины, тем оно должно быть больше. А неудачная попытка приведёт только к потере времени и улучшению навыков ручного счёта.

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1282655 писал(а):

Тут даже возникает интересная побочная задача: какой минимальный множитель нужно взять, чтобы оценка начала работать?

По этому методу можно и не умножать снаружи вовсе, а умножить внутри.

(Поскольку время прошло, ТС не появляется, приведу парочку решений методом оценки)

Первое:
$\sqrt{7}/5=\sqrt{7/25}=\sqrt{700/2500}=\sqrt{(25^2+75)/50^2)}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\frac{75}{2500}}}>\dfrac12$
$\sqrt{2}-1=\dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1+1}+1}<\dfrac12$
Второе:
Ну а если умножать снаружи, то вот именно тут достаточно даже на два умножить.
Внесем двойку под корни. Тогда $2\sqrt{2}-2=\sqrt{8}-2<\sqrt{8+1}-2=1$ Теперь вносим двойку под корень во втором числе: $2\sqrt{7}/5=\sqrt{28/25}=\sqrt{1+3/25}>1$

[Shadow]

Домножаем на $\sqrt 2+1$ получаем очевидное неравенство $\dfrac{\sqrt{14}+\sqrt 7}{5}>1$, т.к $\sqrt{14}>3,\sqrt 7>2$

A значит и $\dfrac{\sqrt 5}{5}>\sqrt 2-1$