Поиск предела последовательности по определению

[Sdy]

Задача.
"Найдите $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{2}+n+1}$".
<Последовательность ограничена снизу 1 и убывает, значит предел существует (проверить можно явно).
Предположим, что предел равен 1. Тогда, по определению предела последовательности :
$|x_{n}-1|<\varepsilon$, $\forall \varepsilon > 0$. Но $|x_{n}-1| < \frac{1}{n}$. А значит берем $N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1$ и получаем, что начиная с этого номера, все члены будут в $\varepsilon$-окрестности 1, а значит, 1 - предел нашей последовательности.>
Вот что мне не нравится в моем решении :
1.Формулировка задачи - "Найдите". Я же беру 1 из ниоткуда.
Как я понимаю, фактически я должен сослаться на теорему о том,что монотонная и ограниченная снизу (сверху) последовательность ${x_{n}}$ имеет предел, равный $\inf\limits_{x_{n}}(\sup\limits_{x_{n}})$. Просто в тех лекциях, по которым я заполняю пропуски, вообще не вводится понятие точной верхней (нижней) границы. По крайне мере, на данном задании его еще нет, теорема Вейерштрасса вводится без него. И я понимаю, что не очень, понимаю, как установить, что число является точной верхней (нижней) гранью последовательности. Обычно я делаю это эвристически, схожий метод вижу также и в учебниках по анализу. Хотелось бы с этим разобраться.

[thething]

Скорее всего имеется ввиду просто тупо подставлять $n=1,2,5,150,...$ пока не заметите, что это подозрительно похоже на 1, а затем уже по определению доказать, что это и правда так

-- 06.01.2018, 07:37 --

Sdy в сообщении #1281561 писал(а):

Последовательность ограничена снизу 1

Кстати, это она сверху ограничена единицей

[Lia]

Sdy

Sdy в сообщении #1281561 писал(а):

Задача.
"Найдите $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{2}+n+1}$".

Вот я вижу "найдите". А "найдите по определению", извините, не вижу.
По определению доказывают, что предел равен какому-то числу. А ищут все-таки обычно из других соображений.

Так что же написано в формулировке на самом деле?

[Sdy]

Lia
Перед блоком заданий идёт текст :
"В нижеследующих задачах постарайтесь вычислять пределы не напрямую по определению, а с использованием доказанных нами свойств предела".

То есть, видимо, я снова ошибся. Но не получается пока свести к милиционерам или же Вейерштрассу. Ну или же сыграть от чего-нибудь более хитрого, забыв про определение.

[Someone]

А кроме теоремы о двух милиционерах или теоремы Вейерштрасса (которой?) больше никаких свойств пределов не знаете?

[mihaild]

Я думаю тут даже больше подсказать стоит: что вы знаете про предел произведения / частного? Можно ли это как-то применить в этой задаче?

[SomePupil]

Sdy в сообщении #1281781 писал(а):

Ну или же сыграть от чего-нибудь более хитрого, забыв про определение.

Достаточно стандартных арифметических заклинаний в духе "предел суммы есть сумма пределов" и т. д.

[Sdy]

mihaild
SomePupil
Я, конечно, могу сразу сказать, что предел этого выражения - 1. Брать их на автомате я могу хоть сотнями, тренировался уже.
Ну то есть вынесу наибольшую степень из числителя и знаменателя, сокращу на нее,в числителе - сумма 1 и бесконечно малой последовательности, в знаменателе 1 и две бесконечно малые (в сумме обе дадут также бмп) и в итоге получим 1.
Неужели от меня хотят этого?
Someone
Я говорил о теореме про предел монотонной ограниченной сверху (снизу) последовательности.

[thething]

Sdy в сообщении #1281781 писал(а):

"В нижеследующих задачах постарайтесь вычислять пределы не напрямую по определению, а с использованием доказанных нами свойств предела".

Именно этого и хотят, а дальше все зависит от того, какие свойства Вами были уже доказаны. Скорее всего это пределы арифметических операций и обратные к бесконечно большим/малым

[Someone]

Sdy в сообщении #1281796 писал(а):

Ну то есть вынесу наибольшую степень из числителя и знаменателя, сокращу на нее,в числителе - сумма 1 и бесконечно малой последовательности, в знаменателе 1 и две бесконечно малые (в сумме обе дадут также бмп) и в итоге получим 1.
Неужели от меня хотят этого?

Если в задаче просто сказано "найдите предел", и нет каких-нибудь дополнительных указаний, то Вам предоставляется полное право выбирать способ решения из любых известных, а если сами какой-нибудь новый способ придумаете и сумеете его обосновать, то и его можете применить. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности вообще ни при чём, поскольку она даёт только существование предела, но не его значение (впрочем, если уже известно, что последовательность сходится, то это иногда позволяет применить способы вычисления, недоступные без информации о сходимости).

[Sdy]

Someone
thething
Я вас понял, спасибо.