Определение группы, полугруппы, моноида ...

[NNDeaz]

Здравствуйте, я понимаю что все нижеизложенное не влияет на саму суть теории, но всегда хотелось бы избегать неточностей и придерживаться высокого уровня строгости.

Во всех стандартных учебниках алгебры, которые мне встречались(кроме монографии Фейса) группа(будем рассматривать далее только их, хотя это не имеет значения) определяется как множество, на котором задана бинарная операция, т.ч. выполняются некоторые аксиомы.
Т.е., согласно определению можно сказать, что множества $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $2\mathbb{Z}$ - группы, только каждый раз приходится говорить относительно какой операции.
Строго говоря, пусть нам дана только группа $G$. Тогда получается нам неизвестно относительно какой операции это есть группа.
Если мы сначала обозначали $G$ и $H$ как множества, а потом ввели на них структуру группы, то как можно писать, что $G \cong H$, ведь мы не имеем ввиду изоморфизм множеств.

Если определять группу как упорядоченную пару, состоящую из множества и некой бинарной операции (как в книге Фейса), то как мы можем обозначать группу тем множеством, на котором она задана? Тогда становятся неверными многие высказывания, как $a \in G$, ведь группа это пара. Да и писать всегда выражения вида $(G,\cdot) \cong (H,\cdot)$ не очень удобно.

Кострикин пишет, что

Цитата:

желая выделить операцию на множестве мы пишем $(X,\cdot)$

подразумевая не упорядоченную пару, а просто некие круглые скобочки? Далее у него в тексте встречается равенство $M=(M,\cdot)$. Но как множество может равняться паре?!

Так как же корректнее определять данные понятия?
Спасибо.

[iifat]

Ну, таки да, имеется некая языковая вольность. Группа и прочие страшные слова темы — разумеется, включают в себя множество и операцию. Принято обозначать одним символом и группу, и множество её элементов, различая смысл по контексту. Это следует принять и научиться различать. Иногда, когда фраза вырвана из контекста, бывает трудно различить, о чём именно речь. Увы.

NNDeaz в сообщении #1280836 писал(а):

пусть нам дана только группа $G$. Тогда получается нам неизвестно относительно какой операции это есть группа

Нет. «Дана группа» — значит, дано множество и операция.

NNDeaz в сообщении #1280836 писал(а):

подразумевая не упорядоченную пару

Аналогично.

[NNDeaz]

Не совсем ясно что такое множество с некоторой операцией (или множество на котором определена некоторая операция)
Как чисто математически это описать?
$\left\lbrace X,\cdot \right\rbrace$, $(X,\cdot)$,
$\left\langle X,\cdot \right\rangle$, имея ввиду, что группа "порождается" множеством и операцией на нем,
или просто $X$ держа в уме операцию $\cdot$ ?

[Dan B-Yallay]

NNDeaz в сообщении #1280944 писал(а):

Не совсем ясно что такое множество с некоторой операцией (или множество на котором определена некоторая операция)
Как чисто математически это описать?

Определение бинарной операции:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Binary_ ... erminology

[NNDeaz]

Понятие бинарной операции мне знакомо.
Вопрос вызывает следующее определение

Кострикин писал(а):

Множесто $X$ с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой

Т.е. согласно данному определению полугруппа - это всего-лишь множество?
Что имеется ввиду под "Множесто $X$ с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией"?
$\left\lbrace X,\cdot \right\rbrace$, $(X,\cdot)$ или что-то другое?
Имеют ли смысл подобные определения: множество с функцией, квадрат с треугольником, и т.п. Что имеется ввиду под "с"?

[iifat]

NNDeaz в сообщении #1280997 писал(а):

согласно данному определению полугруппа - это всего-лишь множество?

Согласно этому определению, полугруппа — множество с заданной на нём ассоциативной операцией. Означает оно ровно то, что написано:
- задано множество;
- задана бинарная операция на нём;
- сия последняя обладает свойством ассоциативности.
Последующие обозначения — всего лишь обозначения (первого из них, впрочем, не встречал в литературе; впрочем, всей литературы не читал). Сами они, как и любые другие обозначения, не означают ничего. В контексте же обозначают то, что я написал.

NNDeaz в сообщении #1280997 писал(а):

Имеют ли смысл подобные определения

Определения вообще не имеют самостоятельного смысла и вводятся для использования в дальнейшем повествовании. Опять же, именно ваших не припоминаю, но нисколько не удивлюсь, если где встречу. Под «с» имеется в виду совокупность первого и второго.

[beroal]

NNDeaz в сообщении #1280997 писал(а):

Вопрос вызывает следующее определение

Кострикин писал(а):

Множество $X$ с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой

Т.е. согласно данному определению полугруппа - это всего-лишь множество?
Что имеется ввиду под "Множество $X$ с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией"?
$\left\lbrace X,\cdot \right\rbrace$, $(X,\cdot)$ или что-то другое?

Формально, полугруппа — это 2-местный кортеж, первый компонент которого — множество, и второй компонент — 2-местная ассоциативная операция на этом множестве. Обозначается \((X, \cdot)\) или \langle X, \cdot\rangle. Обе нотации обозначают один и тот же кортеж, кстати. Соответственно, предлог «с» обозначает конструирование кортежа.

NNDeaz в сообщении #1280836 писал(а):

Кострикин пишет, что

Цитата:

желая выделить операцию на множестве мы пишем $(X,\cdot)$

подразумевая не упорядоченную пару, а просто некие круглые скобочки? Далее у него в тексте встречается равенство $M=(M,\cdot)$. Но как множество может равняться паре?!

Никак. IMHO, такое равенство совершенно некорректно с формальной точки зрения. Подразумевается, что \(M\) иногда подразумевает \(M\), а иногда подразумевает \((M,\cdot)\). Они не равны, разумеется. Это неоднозначная нотация, как уже сказали.

Если вас это беспокоит, ищите другие учебники. Хотя ни один учебник не идеален. Кстати, я встречаю формально корректную нотацию в учебниках довольно часто. Может быть, потому что читаю на английском. Пример.

Цитата:

Definitions 8.14. A semigroup \((S,\cdot)\) is a groupoid such that the binary operation \(\cdot\) is associative.

Цитата:

Definitions 8.16. A monoid is an ordered term \((M, \cdot, 1)\) where \((M,\cdot)\) is a semigroup and \(1\) is the identity element of \((M,\cdot)\).

Menini, Claudia, and Freddy Van Oystaeyen. Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment. Marcel Dekker, 2004.

[NNDeaz]

Правильно ли я тогда понимаю, что следующие определения различны, хоть и любое из них можно использовать?
1. Множество на котором задана бинарная операция ...
2. Множество с заданной на нем бинарной операцией ...

В первом мы имеем ввиду

Цитата:

Означает оно ровно то, что написано:
- задано множество;
- задана бинарная операция на нём;
...

То есть задали множество $X$ и задали бинарную операцию на $X$

А во втором просто имеется ввиду пара $(X, \cdot )$

[Mikhail_K]

NNDeaz, Вы как-то перебарщиваете с формализмом.

NNDeaz в сообщении #1281322 писал(а):

Правильно ли я тогда понимаю, что следующие определения различны, хоть и любое из них можно использовать?
1. Множество на котором задана бинарная операция ...
2. Множество с заданной на нем бинарной операцией ...

Эти два определения означают одно и то же. Задать $X$ и задать $\cdot$ это и значит задать $(X,\cdot)$. Точно так же, как, например, задать два вещественных числа $x$ и $y$ - это то же самое, что задать точку $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

[beroal]

NNDeaz в сообщении #1281322 писал(а):

Правильно ли я тогда понимаю, что следующие определения различны, хоть и любое из них можно использовать?
1. Множество на котором задана бинарная операция ...
2. Множество с заданной на нем бинарной операцией ...

В первом мы имеем ввиду

Цитата:

Означает оно ровно то, что написано:
- задано множество;
- задана бинарная операция на нём;
...

То есть задали множество $X$ и задали бинарную операцию на $X$

Для этого надо выяснить, какой смысл имеет слово «задана», и чем отличается «задана бинарная операция \(\star\)» от «\(\star\) есть бинарная операция». Этот вопрос относится к формализации математики.

[iifat]

beroal в сообщении #1281029 писал(а):

я встречаю формально корректную нотацию в учебниках довольно часто. Может быть, потому что читаю на английском

Что, в английских учебниках прям массово отличают $\mathbb N$ — множество натуральных чисел от $\mathbb N$ — множества их же со сложением? С умножением? С ими обоими? Голословно сомневаюсь что-то.

[arseniiv]

NNDeaz в сообщении #1280836 писал(а):

Далее у него в тексте встречается равенство $M=(M,\cdot)$. Но как множество может равняться паре?!

Может статься, этим неформальным равенством он поясняет, о группе (с носителем $M$) по какой именно операции он будет говорить, называя её просто $M$, ниже. Или нет — не читал.

В некоторых книгах (вроде, об этом ещё не написали выше) используют разные начертания букв для алгебраических структур (да и вообще других подобных вещей) и их носителей.

Кстати, «задана» — это внематематическое (или, в крайнем случае, метаматематическое) понятие.

[NNDeaz]

arseniiv в сообщении #1281583 писал(а):

В некоторых книгах (вроде, об этом ещё не написали выше) используют разные начертания букв для алгебраических структур (да и вообще других подобных вещей) и их носителей.

Да, но например $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{R}$ другим шрифтом представить сложнее, пропадет смысл


Хотел еще спросить, зачем в некоторых учебниках в понятие группы включается ее единица? Т.е. рассматривается $(G, \cdot , 1_G)$ вместо рассмотрения просто $(G, \cdot)$ ?
Не избыточно ли это определение? Ведь имея $(G, \cdot)$ мы всегда можем найти наш единичный элемент $1_G$

[iifat]

Я вам больше скажу: зачем в понятие группы включается множество? Ведь его можно точно так же найти из определения операции!

[beroal]

NNDeaz в сообщении #1281705 писал(а):

Хотел еще спросить, зачем в некоторых учебниках в понятие группы включается ее единица? Т.е. рассматривается $(G, \cdot , 1_G)$ вместо рассмотрения просто $(G, \cdot)$ ?
Не избыточно ли это определение? Ведь имея $(G, \cdot)$ мы всегда можем найти наш единичный элемент $1_G$

IMHO, чтобы аксиомы не содержали квантора существования. Сравните два определения моноида:

• \((X, \cdot, 1)\) такой, что \(\forall x(1\cdot x = x) \land \forall x(x\cdot 1 = x)\);
• \((X, \cdot)\) такой, что \(\exists e(\forall x(e\cdot x = x) \land \forall x(x\cdot e = x))\).