Ряд Тейлора и асимптотическая формула.

[Gladiator1995]

Здравствуйте, вот хочу разобраться, в чем разница между рядом Тейлора и асимптотической формулой? Знаю, что ряд Тейлора - бесконечная степенная сумма и при определенных условиях какая-нибудь функция раскладывается в него (если удовлетворяет теореме Тейлора). А вот каково различие между Тейлором и асимптотикой? Если его нет, тогда смысл два понятия вводить. Раз уж они есть, то различия есть, но вот какое, скажите, пожалуйста, господа-математики!
Вот во многих учебниках по математическому анализу пишут, что многочлен Тейлора служит для приблизительного вычисления функции в какой-либо точке, удовлетворяющей теореме Тейлора. А как я понял асимптотическая формула просто показывает поведение функции при определенных условиях, я прав?

[provincialka]

Gladiator1995 в сообщении #1280766 писал(а):

в чем разница между рядом Тейлора и асимптотической формулой?

Во первых, в том, что один -- ряд, а другая -- формула. Асимптотическая. Со знаком равенства. Ряд же никакого равенства не содержит, он сам по себе.
Ряд Тейлора -- это степенной ряд, построенный определенным способом по функции.
Он может вообще сходиться только в $x_0$. Или сходиться, но не к исходной функции. А вот если он сходится к исходной функции, можно написать точное (а не асимптотическое!) равенство, $f(x)=\sum\limits_0^{+\infty}(\text{слагаемые})$

Во вторых, это равенство выполняется при условиях, более жестких, чем требуются для асимптотического равенства (кстати, какое именно вы имеете в виду?)

[Gladiator1995]

А Разве Ряд Тейлора сходится только в центре? А как же формула Коши-Адамара?

[Red_Herring]

Gladiator1995 в сообщении #1280834 писал(а):

А Разве Ряд Тейлора сходится только в центре?

Там же написано

provincialka в сообщении #1280791 писал(а):

Он может вообще сходиться только в $x_0$

Но даже если он сходится только в центре, его можно асимптотически просуммировать к функции $f(x)$ т.ч. для любого $N$

$$\sum_{n=0}^{N-1}a_n (x-x_0)^n -f(x)= O(|x-x_0|^N) $$

при $x\to x_0$.

[Gladiator1995]

Спасибо, теперь приблизительно понял