Численное интегрирование

[osa]

Требуется получить функцию по ее производной. Производная задана таблично. Каким методом лучше воспользоваться?

[Brukvalub]

Можно рассмотреть интеграл с переменным верхним пределом, можно рассмотреть численное интегрирование диф. ур-ния

\[ F'(x) = f(x) \]

[ГАЗ-67]

Интерполируем линейно производную . Получаем уравнения прямых для каждого интервала .
Находим первообразные для каждого из них . Предполагаем , что функция непрерывна .
Отсюда следует что параболы имеют одинаковое значение в узлах . Из этих условий определяются неизвестные свободные члены в уравнениях парабол . Т.е. получили сплайн второго порядка . При этом , если нет ни одного значения функции , останется неопределенность . Если известно хотя бы одно значение , то сплайн определяется однозначно . Кажись так .

[MGM]

osa писал(а):

Требуется получить функцию по ее производной. Производная задана таблично. Каким методом лучше воспользоваться?

Что тербуется получить? Аналитическую функцию или численные значения в узлах с точнгостью до константы?
А что известно про функцию? Одномерная, там многомерная. Дифференцируемая. Про таблицу: регулярные узлы или нерегулярные. По какому критерию лучше?

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

ГАЗ-67 писал(а):

Интерполируем линейно производную . Получаем уравнения прямых для каждого интервала .
Находим первообразные для каждого из них . Предполагаем , что функция непрерывна .
Отсюда следует что параболы имеют одинаковое значение в узлах . Из этих условий определяются неизвестные свободные члены в уравнениях парабол . Т.е. получили сплайн второго порядка . При этом , если нет ни одного значения функции , останется неопределенность . Если известно хотя бы одно значение , то сплайн определяется однозначно . Кажись так .

Сплайн параболами не гарантирует (а точнее гарантирует обратное) непрерывность второй производной. А может быть человеку надо абсолютно гладкую функцию получить?

[worm2]

Ну, можно и абсолютно гладкую. Строим по точкам интерполяционный многочлен для производной, затем интегрируем его и получаем опять многочлен.
Про качество полученного решения умолчу

[MGM]

worm2 писал(а):

Ну, можно и абсолютно гладкую. Строим по точкам интерполяционный многочлен для производной, затем интегрируем его и получаем опять многочлен.
Про качество полученного решения умолчу

Качество по какому критерию? Для регулярных решёток можно всегда подобрать удобный ортогональный базис. Кстати Фурье, хоть и не слишком хороший аппроксиматор, но зато надёжен, как статистика в Excel. А если ещё и двумерная решётка (таблица сама по себе даёт ошибку округления), так и вообще незаменим.

[worm2]

MGM писал(а):

Качество по какому критерию?

Ну, по средней кривизне, например. Или по вариации на отрезке интегрирования. Многочлены в этом смысле не очень Если какие-нибудь другие базисные функции, то конечно да, согласен.