Как вычислять гипергеометрические функции

[Echo-Off]

Доброе время суток.

Гипергеометрическая функция $_2F_1(a,\,b,\,c,\,x)$ задаётся рядом $\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k x^k$, где $c_0 = 1$, $c_{k+1} = c_k \cdot \frac {(k+a)(k+b)}{(k+c)(k+1)}$. Очевидно, что если одно из чисел $a$ или $b$ отрицательное целое, то ряд конечен.

В моём случае как раз $b$ есть отрицательное целое, но ооочень большое по модулю, а $a$ - нецелое, так что $_2F_1$ есть многочлен очень большой степени. Есть ли способы (хотя бы приближённо) вычислить значение $_2F_1$?

[V.V.]

Есть такая формула при $\mbox{\rm Re}\,c>\mbox{\rm Re}\,b>0$:

$F(a,b;c;x)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int\limits_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt$.

Не поможет?

[Echo-Off]

V.V., спасибо, но увы - интегрировать такое численно - дело гиблое имхо

[V.V.]

Echo-Off, я плохо понимаю проблемы вычислителей. Поэтому задаю, наверное, глупый вопрос: а чем такой интеграл плох?

[zbl]

Echo-Off писал(а):

так что $_2F_1$ есть многочлен очень большой степени. Есть ли способы (хотя бы приближённо) вычислить значение $_2F_1$?

На чём тут спотыкаются математические пакеты (вроде Maple) и библиотеки подпрограмм (вроде GSL)?
"Очень большой степени" -- это сколько по порядку величины? нет никакой возможности его вычислять как полином?

Кроме интегрального представления есть ещё и то диф. уравнение, которым определяется гипергеометрическая функция.
Но вряд ли оно лучше для численного решения.

Если приближать полином каким-то другим способом, то всё сильно будет зависить от того отрезка, на котором нужны значения $_2F_1$.
Например, звисимость от положения ближайших корней полинома будет более ощутимой, чем от корней дальних от данного отрезка.
Учтя это, можно (в теории) понизить степень полинома.

[ГАЗ-67]

Укажите конкретные числа и скажите на чём споткнулись .