Непрерывность супремума

[Женисбек]

$f_n(x)\in C[a,b]$
$\forall x\in[a,b]: \sup_n\{f_n(x)\}<\infty$

Верно ли, что $\sup_n\{f_n(x)\}\in C[a,b]$? (или хотя бы найдется номер $N$, начиная с которого это будет верно)

[AD]

Нет, конечно! Возьмите $f_n(x)=\arctg nx$ на $[0,1]$.

[ewert]

Женисбек писал(а):

$f_n(x)\in C[a,b]$
$\forall x\in[a,b]: \sup_n\{f_n(x)\}<\infty$

Верно ли, что $\sup_n\{f_n(x)\}\in C[a,b]$? (или хотя бы найдется номер $N$, начиная с которого это будет верно)

Нет, конечно. Возьмите какую-нибудь монотонную последовательность, сходящуюся поточечно к разрывной.

[Женисбек]

AD писал(а):

Нет, конечно! Возьмите $f_n(x)=\arctg nx$ на $[0,1]$.

ewert писал(а):

Нет, конечно. Возьмите какую-нибудь монотонную последовательность, сходящуюся поточечно к разрывной.

Понял, спасибо! А если дополнительно есть поточечная сходимость:
$f_n(x)\rightarrow f(x)\in C[a,b]$
?

[AD]

Так она у нас и есть.

[Женисбек]

AD писал(а):

Так она у нас и есть.

Извините, но для $f_n(x)=\arctg nx$ предельной будет же разрывная функция
$f(x)=\begin{cases}0,\qquad x=0\\\frac{\pi}{2},\qquad x\in(0,1]\end{cases}$

Или я ошибаюсь?

[AD]

Аааа. Вы еще потребовали непрерывность предельной функции. Сейчас подумаю еще.

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ и рассмотрите последовательность $f_n(x)=g\bigl(nx\bigr)$ на отрезке $[0,1]$. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.

Добавлено спустя 16 минут 30 секунд:

При желании можете рассмотреть всюду бесконечно дифференцируемый столбик $\tilde g(x)=e^{-\frac1{x-x^2}}\chi_{[0,1]}$.

[Женисбек]

AD писал(а):

Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ и рассмотрите последовательность $f_n(x)=g\bigl(nx\bigr)$ на отрезке $[0,1]$. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.

A как посчитать предельную функцию для $f_n(x)=nx-n^2x^2,\ x\in[0,1]$?

[Narn]

Женисбек писал(а):

AD писал(а):

Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ и рассмотрите последовательность $f_n(x)=g\bigl(nx\bigr)$ на отрезке $[0,1]$. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.

A как посчитать предельную функцию для $f_n(x)=nx-n^2x^2,\ x\in[0,1]$?

Вы про индикатор забыли.
$f_n(x)=(nx-n^2x^2)I_{[0,1]}(nx)$

Из-за него в пределе получится 0.

[AD]

Графики порисуйте.

Вы неправильно выписали функцию. На самом деле $f_n(x)=nx-n^2x^2,\ x\in[0,\tfrac1n]$. Потому что
$\chi_{[a,b]}(nx)=\chi_{\bigl[\tfrac an,\tfrac bn\bigr]}(x)$

[Женисбек]

Спасибо!