2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывность супремума
Сообщение19.06.2008, 07:30 
$f_n(x)\in C[a,b]$
$\forall x\in[a,b]: \sup_n\{f_n(x)\}<\infty$

Верно ли, что $\sup_n\{f_n(x)\}\in C[a,b]$? (или хотя бы найдется номер $N$, начиная с которого это будет верно)

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 07:31 
Нет, конечно! Возьмите $f_n(x)=\arctg nx$ на $[0,1]$.

 
 
 
 Re: Непрерывность супремума
Сообщение19.06.2008, 07:34 
Женисбек писал(а):
$f_n(x)\in C[a,b]$
$\forall x\in[a,b]: \sup_n\{f_n(x)\}<\infty$

Верно ли, что $\sup_n\{f_n(x)\}\in C[a,b]$? (или хотя бы найдется номер $N$, начиная с которого это будет верно)

Нет, конечно. Возьмите какую-нибудь монотонную последовательность, сходящуюся поточечно к разрывной.

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 07:52 
AD писал(а):
Нет, конечно! Возьмите $f_n(x)=\arctg nx$ на $[0,1]$.


ewert писал(а):
Нет, конечно. Возьмите какую-нибудь монотонную последовательность, сходящуюся поточечно к разрывной.


Понял, спасибо! А если дополнительно есть поточечная сходимость:
$f_n(x)\rightarrow f(x)\in C[a,b]$
?

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 07:58 
Так она у нас и есть. :?

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 08:05 
AD писал(а):
Так она у нас и есть. :?


Извините, но для $f_n(x)=\arctg nx$ предельной будет же разрывная функция
$f(x)=\begin{cases}0,\qquad x=0\\\frac{\pi}{2},\qquad x\in(0,1]\end{cases}$

Или я ошибаюсь?

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 08:29 
Аааа. Вы еще потребовали непрерывность предельной функции. Сейчас подумаю еще.

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ и рассмотрите последовательность $f_n(x)=g\bigl(nx\bigr)$ на отрезке $[0,1]$. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.

Добавлено спустя 16 минут 30 секунд:

При желании можете рассмотреть всюду бесконечно дифференцируемый столбик $\tilde g(x)=e^{-\frac1{x-x^2}}\chi_{[0,1]}$.

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 14:57 
AD писал(а):
Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ и рассмотрите последовательность $f_n(x)=g\bigl(nx\bigr)$ на отрезке $[0,1]$. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.


A как посчитать предельную функцию для $f_n(x)=nx-n^2x^2,\ x\in[0,1]$?

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 15:22 
Женисбек писал(а):
AD писал(а):
Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ и рассмотрите последовательность $f_n(x)=g\bigl(nx\bigr)$ на отрезке $[0,1]$. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.


A как посчитать предельную функцию для $f_n(x)=nx-n^2x^2,\ x\in[0,1]$?


Вы про индикатор забыли.
$f_n(x)=(nx-n^2x^2)I_{[0,1]}(nx)$

Из-за него в пределе получится 0.

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 15:22 
Графики порисуйте. :wink:

Вы неправильно выписали функцию. На самом деле $f_n(x)=nx-n^2x^2,\ x\in[0,\tfrac1n]$. Потому что
$\chi_{[a,b]}(nx)=\chi_{\bigl[\tfrac an,\tfrac bn\bigr]}(x)$

 
 
 
 
Сообщение19.06.2008, 16:05 
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group