Аааа. Вы еще потребовали непрерывность предельной функции. Сейчас подумаю еще.
Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:
Ну ладно, ну возьмите непрерывный столбик
![$g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$ $g(x)=(x-x^2)\chi_{[0,1]}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/8938fe5bd764c9aa99ff3b56e26d596a82.png)
и рассмотрите последовательность

на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
. Непрерывности в нуле у супремума не будет снова.
Добавлено спустя 16 минут 30 секунд:
При желании можете рассмотреть всюду бесконечно дифференцируемый столбик
![$\tilde g(x)=e^{-\frac1{x-x^2}}\chi_{[0,1]}$ $\tilde g(x)=e^{-\frac1{x-x^2}}\chi_{[0,1]}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d344fc31e004e90e3bc3e344a9148d8b82.png)
.