интеграл Мак-Шейна и теория меры

[beroal]

Изучаю теорию интегрирования. Известно, что на \(\mathbb{R}\) интеграл Мак-Шейна эквивалентен интегралу Лебега (0) и интеграл Курцвейля — Хенстока более общий, чем интеграл Лебега (1). Следовательно, использование калибровочной функции (масштаба) позволяет отказаться от теории меры на \(\mathbb{R}\). Я хочу понять, как это возможно. Помогите найти доказательство утверждений 0 и 1. Я нашёл следующие книги, однако я не могу найти конкретные места с доказательствами. Книги полностью я не осилю.

• Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. Обобщенные интегралы, 2010. 280 с. ISBN 978-5-397-00267-7.
• Kurtz, Douglas S., and Charles W. Swartz. Theories of Integration: The Itegrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and McShane. Series in Real Analysis, vol. 9, World Scientific Publishing, 2004.
• Bartle, Robert G. A Modern Theory of Integration. Graduate Studies in Mathematics, vol. 32, American Mathematical Society, 2001.

[beroal]

(Оказывается, я читаю 2-е издание.

Kurtz, Douglas S., and Charles W. Swartz. Theories of Integration: The Itegrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and McShane. Series in Real Analysis, 2nd ed., vol. 13, World Scientific Publishing, 2012.)

Вроде бы я нашёл подходящую теорему.

Цитата:

Теорема 4.91. Пусть \(f:I\to\mathbb{R}\) нестрого положительна и измерима. Тогда \(f\) интегрируема в смысле Лебега тогда и только тогда, когда \(f\) интегрируема в смысле Курцвейля — Хенстока. В обоих случаях \(\mathcal{L}\int_I f = \int_I f\).

Однако, доказательство ведёт к более сильному утверждению: если \(f\) нестрого положительна и измерима, тогда \(f\) интегрируема в смысле Лебега и интегрируема в смысле Курцвейля — Хенстока. Я правильно понимаю, что не существует нестрого положительной и измеримой \(f\), которая не интегрируема в смысле Лебега? То есть эта теорема есть всего лишь критерий интегрируемости.