Линейная независимость векторов

[Sdy]

(Оффтоп)

Оставляю один вопрос. Остальное переедет в другие темы.

Доказать, что если векторы $x_{1}, x_{2} ,..., x_{n}$ линейно независимы, то существует единственное представление вектора $x$ в виде $x = \lambda_{1}x_{1} + \lambda_{2}x_{2} + ... + \lambda_{n}x_{n}$
<Предположим, что это неверно. Тогда $\exists x = \lambda_{1}x_{1} + \lambda_{2}x_{2} + ... + \lambda_{n}x_{n}$ и $\exists x = \lambda_{1}'x_{1} + \lambda_{2}'x_{2} + ... + \lambda_{n}'x_{n}$. Вычтем из первого представления второе и получим :
$ 0 = (\lambda_{1} - \lambda_{1}')x_{1} + (\lambda_{2} - \lambda_{2}')x_{2} + ... + (\lambda_{n} - \lambda_{n}')x_{n}$. Так как векторы $x_{1}, x_{2} ,..., x_{n}$ по условию линейно независимы, значит равенство нулю достигается лишь в случае, когда данная линейная комбинация тривиальна, то есть коэффициенты при соответствующих векторах равны нулю. А это означает, что
$\lambda_{1} - \lambda_{1}' = 0, \lambda_{2} - \lambda_{2}' = 0, ... , \lambda_{n-1} -\lambda_{n-1}' = 0 $. А из этого следует, что эти коэффициенты совпадают, значит, представление единственно.>

[svv]

Sdy в сообщении #1277816 писал(а):

Доказать, что если векторы $y, z ,..., v$ линейно независимы, то существует единственное представление вектора $x$ в виде $x = \lambda_{1}y + \lambda_{2}z + ... + \lambda_{n-1}v$

Формулировка не очень. Обычно «существует единственное ...» означает «существует и единственно». В Вашем случае утверждение в подобной трактовке неверно (приведите контрпример). Верно лишь: «если существует, то единственно».

(Оффтоп)

-- Пт дек 22, 2017 22:17:45 --

Sdy в сообщении #1277816 писал(а):

Составляем линейную комбинацию таких функций с коэффициентами. Знаем, что показательная функция в нуль не обращается никогда. Значит эта комбинация обратится в нуль только при условии, что все коэффициенты нулевые.

Функция $t^k$, как функция $t$ при фиксированном $k$ — степенная, а не показательная. А степенная очень даже обращается в нуль — например, $t^5=0$ при $t=0$.

Sdy в сообщении #1277816 писал(а):

Почему на плоскости любые три вектора уже будут линейно зависимы?

Как Вы тут понимаете плоскость?

[Sdy]

svv в сообщении #1277819 писал(а):

Формулировка не очень. Обычно «существует единственное ...» означает «существует и единственно». В Вашем случае утверждение в подобной трактовке неверно (приведите контрпример). Верно лишь: «если существует, то единственно».

Я правильно понимаю, что нужен пример, когда у нас есть линейно независимые векторы, а выразить через них другой произвольный не получится?
Ведь если взять линейно независимые вектора, представленные в некотором линейном пространстве наборами из $n$ координат, то через них же можно выразить любой вектор этого пространства? Или я мыслю узко и нужно абстрагироваться от конкретного задания векторов?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Оставьте одну задачу, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

Sdy в сообщении #1277830 писал(а):

у нас есть линейно независимые векторы, а выразить через них другой произвольный не получится?

Возьмите линейно независимую систему векторов $x_1,\dots,x_n$. Отрежьте от неё последний. Что скажете про остаток из $n-1$ векторов? А можно ли через них выразить $x_n$?

[Sdy]

iifat в сообщении #1278487 писал(а):

Sdy в сообщении #1277830 писал(а):

у нас есть линейно независимые векторы, а выразить через них другой произвольный не получится?

Возьмите линейно независимую систему векторов $x_1,\dots,x_n$. Отрежьте от неё последний. Что скажете про остаток из $n-1$ векторов? А можно ли через них выразить $x_n$?

Я вас понял. Так можно любой отрезать из линейно независимой системы и его не получится выразить через другие, ведь их комбинация тривиальна. Спасибо.

[provincialka]

Sdy
А вы знаете, что такое базис линейного пространства? В его определении кроме независимости векторов требуют ещё полноту их системы. Недаром же!

[Sdy]

provincialka
Теперь понятно, что для $n$-мерного пространства это означает, что базис формируют $n$ линейно независимых векторов, как я понимаю, а не меньшее количество. Да, это я знаю. Но почему-то это всегда от меня ускользало.

(Оффтоп)

Тут правда снова прихожу к вопросу о том, почему в пространстве любые 4 вектора уже будут линейно зависимы (а на плоскости любые 3), но учитывая, что прошлую тему отправили в карантин, так как я не предложил никаких рассуждений, будем думать.

[provincialka]

Sdy в сообщении #1278691 писал(а):

почему в пространстве любые 4 вектора уже будут линейно зависимы (а на плоскости любые 3),

Это, собственно, зависит от того, что считать плоскостью и пространством. Их можно задавать геометрическими аксиомами, а можно сразу в координатах.

[Lia]

Sdy
А что такое $n$-мерное пространство?

Sdy в сообщении #1277830 писал(а):

Я правильно понимаю, что нужен пример, когда у нас есть линейно независимые векторы, а выразить через них другой произвольный не получится?

Этот вопрос к Вам не возник бы, если бы Вы правильно переписали задачу из учебника. А в таком виде - естественно, немедленно возник.

[Sdy]

Lia
Пространство, в котором существуют одновременно $n$ линейно независимых векторов, через которые мы сможем выразить остальные векторы.
На самом деле, я прихожу в противоречие с самим собой. Я знаю определения, причем знаю их наперед много, но вот раз я пока не понимаю, почему так обстоят дела с плоскостью и пространством, то я не могу утверждать даже, что они $2$х и $3$х мерны в этом смысле. Хотя мне казалось, что это интутивно понятно.

provincialka
Для меня вообще плоскость - $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, пространство, соответственно - 3я степень декартова произведения $\mathbb{R}$ на себя. То есть, задаем их координатами. Ведь как минимум, $\mathbb{R}$, более осязаемо, чем если просто аксиоматически сказать, что есть вот такое вот какое-то там понятие, которое назовем плоскостью. Для меня правда и переход от $\mathbb{Q}$ к $\mathbb{R}$ не очень тривиален, хотя идею я понимаю, но это вопрос пока ближайшего будущего, не имеющий прямое отношение к теме. (Это к тому что, возможно я не имею полного права и с $\mathbb{R}$ легко так манипулировать, но очень хочется).

[arseniiv]

Sdy
Когда идут от линейной алгебры, плоскостью называют двумерное линейное, аффинное или проективное пространство, «пространство» при этом уже обычно используется в общем смысле, а чтобы указать школьное, явно прибавляют «трёхмерное…». (Можно, правда, получить казус, сказав «комплексная плоскость» — то ли это $\mathbb C$ над $\mathbb R$, то ли $\mathbb C^2$ или другое двумерное комплексное пространство над $\mathbb C$.) Тогда базис плоскости имеет два вектора по определению.

$\mathbb R^n$ и всякие другие $K^n$ для произвольного поля $K$ — это уже так называемые координатные пространства, и в общем случае на них «слишком много структуры», чем требуют задачи — канонический (стандартный) базис, скалярное произведение, ноль (если нам нужно аффинное пространство, а не векторное). Ими пользуются только те, кто боится или не знает определений, или от лени написать чуть больше слов. (По крайней мере, для меня требование лишней никак не используемой структуры — признак дурного вкуса: читатель немного да отвлечётся, думая, что из этого всего пригодится, а что нет, сможет ли он обобщить/перенести нечто или нет, сможет он реализовать вычисления каким-то иным способом и т. д..)

[Lia]

arseniiv

ТС читает Гельфанда. У него все хорошо написано.

У меня большая просьба в этой теме не отвлекаться на тему плоскости и пространства. Про плоскость и пространство автор тему уже завел, и она успешно пребывает в Карантине. А здесь и так работы хватит.

[Sdy]

Lia в сообщении #1278700 писал(а):

Этот вопрос к Вам не возник бы, если бы Вы правильно переписали задачу из учебника. А в таком виде - естественно, немедленно возник.

Да хорошо, что возник, иначе бы так и осталось непонимание в этом вопросе.
arseniiv
Спасибо, я понял, о чем вы говорите. Возможно, стоит параллельно взять курс аналитической геометрии, просто Гельфанд, видимо, на это и рассчитывает.

Lia в сообщении #1278734 писал(а):

У меня большая просьба в этой теме не отвлекаться на тему плоскости и пространства.

Да, как скажете.