Сумма квадратов 2018 натуральных чисел

[Ktina]

Какие значения может принимать сумма квадратов 2018 натуральных чисел?

[wrest]

Ktina
Она не меньше, чем 2018

[Ktina]

wrest в сообщении #1277960 писал(а):

Ktina
Она не меньше, чем 2018

Это, как говорят израильские арабы, мафхум дымнан. Но вот, скажем, 2019 она же не может равняться. А 2021 - может.

[Dmitriy40]

Есть теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов: всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Правда там и ноль используется.
Рассмотрим какие числа нельзя представить как сумму 4-х квадратов без нуля. Начиная с $128=2^7$ они совершенно явно группируются в тройки: $(2^{2k+1}; 1{,}75\cdot2^{2k+1};3\cdot2^{2k+1})$. Но каждое из этих чисел (увеличенное на $4$) можно представить как сумму двух меньших представимых чисел. Значит, любое число от $128+4=132$ и более можно представить как сумму 8-ми квадратов натуральных чисел. И соответственно любое число от $2018-8+132=2142$ и более как сумму 2018-ти квадратов.
Осталось проверить представимы ли числа до $128:1,2,3,5,6,8,9,11,14,17,24,29,32,41,56,96$ (только эти не представимы суммой 4-х квадратов). По аналогии, числа $96+4,56+4,41+4,29+4,24+4$ представимы в виде суммы представимых чисел $x+7$. Число $32+4$ представимо как $26+10$.
Т.е. все числа от $2018-4+24=2038$ и более представимы в виде суммы 2018-ти квадратов.
Остальные проверим прямым перебором и обнаружим все представимые числа до $2038: 2018,2021,2024,2026,2027,2029,2030,2032\ldots2038$.
Значит как минимум с $2032$ и далее все числа представимы, плюс указанные выше.

-- 23.12.2017, 19:27 --

Конечно можно и проще, рассмотреть увеличение суммы при замене $1^2$ на больший квадрат, приращение при этом может быть $(+3k_1,+8k_2,\ldots), k_i \in \mathbb{N}_0$, начиная с $+14$ они покрывают все числа, а значит все числа от $2018+14=2032$ вполне себе представимы в виде суммы квадратов. Ну а меньшие легко видны отсюда же.

[Dmitriy40]

Вычисления показывают, что 5-ю квадратами натуральных чисел представимы все числа начиная с $34$.
6-ю и более квадратами - начиная с $n+14$ ($n$ - число квадратов).

[vpb]

Решение, предлагаемое Dmitriy40, мне как-то непонятно.
На самом деле, задача, хоть немного и нетривиальна, решается просто. (Очевидно, Dmitriy40 такое рассуждение и имел в виду, но написал несколько путано.) Достаточно использовать теорему Лагранжа и простые рассуждения со
сравнениями. Я написал основную идею под спойлером. Вам, Ktina, может таки будет интересно самому/самой догадаться.

(идея)

Теорема Лагранжа утверждает, что любое натуральное число --- сумма не более чем 4 квадратов. С другой стороны, из сравнений по модулю 8 видно, что числа вида $8k+7$ суммой трех или меньшего числа квадратов не представляются. Поэтому любое такое число --- сумма ровно 4 квадратов. Далее, для любого $a=0,1,\ldots,7$ существует число, представимое суммой ровно 4 квадратов и сравнимое с $a$ по модулю 8. Отсюда следует, что любое число, начиная с некоторого, представимо суммой ровно 8 квадратов. Дальнейшее --- рутинные вычисления, может несколько трудоемкие.

[Dmitriy40]

vpb
В теореме Лагранжа используются нули (например для чисел вида $2^{2k+1}$). Я попытался понять для каких чисел нули необходимы и можно ли эти числа представить как сумму других представимых без нулей (два раза применить теорему для двух сумм по 4 квадрата каждая). Оказалось для чисел от $2038$ и более - можно. Остальные проверил прямым подбором.

[vpb]

Dmitriy40,
я правильно понимаю, что Вы утверждаете, что все числа больше 128, кроме чисел видов $2^{2k+1}$, $3\cdot2^{2k+1}$, $7\cdot2^{2k+1}$, представляются суммой ровно 4 квадратов (возможно и так, я сам не знаю) ?

[Dmitriy40]

vpb
Да. Все я конечно не проверял, но до сотни тысяч исключений не видно. Даже начиная с $32$, за исключением $41$.
Под "ровно 4 квадрата" подразумеваютcя и возможно одинаковые квадраты, например $64=4^2+4^2+4^2+4^2$ или $55=1^2+2^2+5^2+5^2$.

[vpb]

Dmitriy40
А, понятно. То есть Вы сделали вычислительный эксперимент, потом его результат экстраполировали на весь натуральный ряд, а потом уже на основе предположения, что так оно и есть всегда, решили основную задачу теоретически. Ну, скорее всего сделанное предположение верно (противное невероятно), но все-таки это не есть строгое доказательство. Я думаю,
Ktina подразумевал(а) теоретическое доказательство с начала до конца.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1278134 писал(а):

Да. Все я конечно не проверял, но до сотни тысяч исключений не видно. Даже начиная с $32$, за исключением $41$.

Надо бы это как-то доказать. Если совсем просто или быстро не получится, предлагаю вынести в отдельную тему (со ссылкой на эту).

-- 24.12.2017, 00:13 --

vpb в сообщении #1278151 писал(а):

Ktina подразумевал(а) теоретическое доказательство с начала до конца.

Ну, для доказательства оригинальной задачи это доказывать не обязательно -- оригинальная задача в любом случае проще этой. А эта сама по себе может быть интересна (если она не тривиальна, конечно).

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1278159 писал(а):

Надо бы это как-то доказать.

Надо бы. Но пока не представляю как, никак не всовывается теорема Лагранжа из-за своих нулей.
Проверил до десяти миллионов (более 5-ти порядков), исключений нет.
Хотя для меня удивительнее что уже 5-ю квадратами представимо всё начиная с $34$. И что минимум непрерывной представимой области приходится на 6 квадратов с границей в $20$ (почему 7-ю квадратами не ещё чуть меньше?!).