Миньон Ким, [Minhyong Kim] ... особенно интересуется вопросом того, какие рациональные числа подходят для решения уравнений определённого рода. ...
За последнее десятилетие Ким описал совершенно новый способ поиска закономерностей в кажущемся беспорядочном мире рациональных чисел. ...
...
Множество рациональных решений уравнения не обязано иметь симметрию и не формируют группу, из-за чего математики сталкиваются с нереальной задачей в попытках отыскать решения по одному.
С 1940-х годов математики начали изучать методы расположение диофантовых уравнений в более симметричных условиях. Математик Клод Чаботи [Claude Chabauty] открыл, что внутри более крупного геометрического пространства, созданного им (при использовании расширенной вселенной чисел под названием
-адические числа), рациональные числа формируют своё собственное симметричное подпространство. Он взял это подпространство и скомбинировал его с графиком диофантового уравнения. Точки их пересечения оказались рациональными решениями уравнения.
В 1980-х математик Роберт Коулман уточнил работу Чаботи. За последовавшие пару десятилетий подход Коулмана-Чаботи был лучшим математическим инструментом, имевшихся у математиков для поиска рациональных решений диофантовых уравнений. Но он работает только в случае, когда график уравнения соотносится с размером более крупного пространства в определённой пропорции. Когда она нарушается, становится сложно точно находить положение точек пересечения кривой уравнения и рациональных чисел.
«Если ваша кривая находится в окружающем пространстве, где есть слишком много рациональных точек, они начинают скапливаться и вам трудно различать, какие из них находятся на кривой»...
И тут вступает Ким. Чтобы расширить работу Чаботи, он хотел найти ещё более крупное пространство, в котором можно исследовать диофантовы уравнения — пространство, где рациональные числа более разрозненны, что позволяет изучать точки пересечения с большим количеством разновидностей диофантовых уравнений.
Пространства пространств
Если вам нужно более крупное пространство и некоторые намёки на то, как можно использовать симметрию для того, чтобы в нём ориентироваться, вам подойдёт физика.
Кроме этих, существуют ещё более экзотические пространства, которые можно представить себе, как «пространства пространств». Самый простой пример: допустим, у вас есть треугольник — и это пространство. Теперь представьте пространство всех возможных треугольников. Каждая точка в нём представляет определённый треугольник, и координаты этой точки задаются углами представляемого ею треугольника.
Такая идея часто оказывается полезной в физике. В рамках общей теории относительности пространство и время постоянно развиваются, и физики считают каждую конфигурацию пространства и времени точкой в пространстве всех конфигураций пространства-времени. Пространства пространств также появляются в области, которую физики называют калибровочная инвариантность, работающей с полями, наложенными на физическое пространство. Эти поля описывают то, как меняются силы вроде электромагнетизма и гравитации при передвижении в пространстве. Можно представить, что в каждой точке пространства конфигурация этих полей слегка отличается — и что все эти разные конфигурации формируют точки в «пространстве всех полей» более высокой размерности.
Это пространство полей из физики — аналогия, близкая к предложению Кима для теории чисел. ... представьте себе луч света. Физики представляют свет, движущийся через пространство полей более высокой размерности. В этом пространстве свет пойдёт по пути, который придерживается принципа наименьшего сопротивления и минимизирует количество времени, необходимое для того, чтобы добраться из точки А в точку В. ...
Более крупные пространства пространств, появляющиеся в физике, обладают дополнительными симметриями, которых нет ни в каком из представляемых ими пространств. Эти симметрии привлекают внимание к определённым точкам, допустим, акцентируясь на пути, минимизирующем время. Те же самые симметрии, построенные другим способом и в другом контексте, могут акцентироваться на других точках — например, на точках, соответствующих рациональным решениям уравнений.
Соединяя симметрию с физикой
В теории чисел нет никаких частиц, которые можно было бы отслеживать, но в ней есть нечто вроде пространства-времени, и она предлагает способ рисовать пути и создавать пространство всех возможных путей. Из этого базового соответствия Ким разрабатывает схему, в которой «задача нахождения траектории света и нахождения рациональных решений диофантовых уравнений являются двумя гранями одной задачи»...
Решения диофантовых уравнений формируют пространства — это кривые, определяемые уравнениями. Эти кривые могут быть одномерными, как окружность, или многомерными. К примеру, если построить комплексное решение диофантового уравнения
, получится тор с тремя отверстиями. У рациональных точек на таком торе нет геометрической структуры — именно поэтому их тяжело найти — но их можно сопоставить с точками в многомерном пространстве пространств, такой структурой обладающими.
Ким создаёт это многомерное пространство пространств, представляя о том, какими способами можно нарисовать на торе замкнутые кривые (или в том пространстве, которое определяет уравнение). Процедура рисования кривых выглядит так. Сначала необходимо выбрать начальную точку, затем нарисовать петлю из этой точки в любую другую, и вернуться в первую. Теперь повторите этот процесс, рисуя пути, соединяющие базовую точку со всеми остальными точками тора. У вас получится чаща всех возможных петель, начинающихся и заканчивающихся в базовой точке. Этот набор петель — центрально важный объект математики, называющийся фундаментальной группой пространства.
Любую точку на торе можно использовать в качестве начальной. У каждой точки получится уникальная чаща путей, исходящих из неё. Каждую из таких коллекций путей можно представить в виде точки в многомерном «пространстве всех наборов путей» (как пространство всех возможных треугольников). Это пространство пространств геометрически очень похоже на то, что строят физики в теории калибровочной инвариантности: то, как наборы путей меняются, когда вы идёте от одной точки на торе к другой, сильно напоминает то, как меняются поля, когда вы идёте от одной точки к другой в реальном пространстве. Это пространство пространств обладает дополнительными симметриями, которых нет на самом торе. И хотя у рациональных точек на торе нет симметрии, если перейти в пространство всех наборов путей, можно найти симметрии между точками, связанные с рациональными числами. Вы приобретаете симметрии, которых раньше не было видно.
«Я иногда говорю, что этих путях закодирована „скрытая арифметическая симметрия“, сильно аналогичная внутренним симметриям теории калибровочной инвариантности», — сказал Ким.
Как и Чаботи, Ким находит рациональные решения, исследуя точки пересечения в созданном ими более крупном пространстве. Он использует симметрии этого пространства, чтобы прийти к точкам пересечения. Он надеется разработать уравнение, точно определяющее эти точки.
В физическом контексте можно представить себе все возможные пути, которыми может пойти луч света. Это ваше «пространство всех путей». Физиков интересуют точки этого пространства, соответствующие путям, минимизирующим время. Ким считает, что у точек, соответствующим чащам путей, исходящим из рациональных точек, присуще нечто вроде такого же свойства — то есть, эти точки минимизируют некоторое свойство, возникающее, когда вы рассматриваете геометрические формы диофантовых уравнений. Он просто ещё пока не разобрался, что это может быть за свойство.
«Что я начал пытаться найти», так это принцип наименьшего сопротивления в математическом контексте, написал он мне в письме. «Я пока его не нашёл, но уверен, что он существует».
Неопределённое будущее
...
Пока что Ким не упоминал физику ни в одной из своих работ. Вместо этого он пишет об объектах под названием «вариации Селмера», и рассматривает связь между вариациями Селмера в пространстве всех вариаций Селмера. Такие вещи специалистам по теории чисел знакомы. Но для Кима они всегда были просто другим обозначением определённых физических объектов.
«Должен быть способ использовать физические идеи для решения задач в теории чисел, но мы пока ещё недостаточно хорошо продумали то, как создать подобную платформу, — сказал Ким. — Мы находимся в таком состоянии, когда наше понимание физики достаточно хорошо развито, и в нём заинтересовано достаточное много специалистов по теории чисел для того, чтобы сделать следующий шаг».
Основное препятствие для метода Кима находится в поиске какого-либо действия для минимизации пространства всех наборов петель. В физическом мире такой подход выглядит естественно, но в арифметике не имеет очевидного смысла. Даже математики, пристально следящие за работой Кима, не уверены, сможет ли он его найти.
...
