геометрия 8*

[Ivan_B]

Четырехугольник будем рассматривать как два треугольника: первый задан, второй нужно построить(по условию в нем известна одна сторона)
1. Сумма противолежищих углов четырехугольника равна $\pi$(т.к. он вписанный), один из них нам известен. Отсюда получаем противолежащий угол.
2. Разности смежных сторон четырехугольника равны(т.к. он описанный) Отсюда получаем разность сторон треугольника, который нужно построить.

Нужно построить треугольник по стороне, разности двух других сторон и углу между ними.
Если продлить меньшую сторону на известную разность, получим равнобедренный треугольник, в котором известен угол, противолежащий основанию.
Значит можно построить угол у основания этого треугольника.
Теперь задача сводится к построению треугольника по двум сторонам и углу между одной из известных сторон и неизвестной стороной, задача может иметь два решения, но в данном случае решение будет одно в силу того что одна из сторон равна разности сторон другого треугольника.
Построение дает основание равнобедренного треугольника, который теперь можно построить по основанию и углам.
Катет полученного равнобедренного треугольника - одна из искомых сторон четырехугольника(бОльшая).

[wrest]

Ivan_B в сообщении #1277264 писал(а):

Если продлить меньшую сторону на известную разность,

Меньшую сторону чего? У неизвестного треугольника $ACD$ нам известна одна сторона $AC$, которая неизвестно больше или меньше других сторон $AD$ и $CD$.

А Вы, кстати, попробовали построить по вашему алгоритму?

Иллюстрация: $\triangle ABC$ дан, $D$ надо построить:

Разность сторон построена: $AK=AB-BC$

[Ivan_B]

wrest в сообщении #1277269 писал(а):

Меньшую сторону чего?

Ivan_B в сообщении #1277264 писал(а):

Нужно построить треугольник по стороне, разности двух других сторон и углу между ними.

Одна из сторон, разность которых известна, меньше, чем другая.
Начинаю я с построения углов треугольника, который получается из $ACD$ продлением наименьшей из его неизвестных сторон на известную разность.

На вашем чертеже нужно продлить $DC$ до $DC'$, чтобы $ADC'$ был равнобедренным. Угол этого треугольника я хочу построить. Сам треугольник сразу построить невозможно.

[wrest]

Ivan_B в сообщении #1277272 писал(а):

Одна из сторон, разность которых известна, меньше, чем другая.

Ну, положим, $ABC$ может быть и равнобедренным, но ладно, пусть $AB>BC$

Ivan_B в сообщении #1277272 писал(а):

Начинаю я с построения углов треугольника, который получается из $ACD$ продлением наименьшей из его неизвестных из его неизвестных сторон

Как можно продлить неизвестную сторону на известную разность, если неизвестная сторона неизвестна? Что именно продлевать-то?
У треугольника $ACD$ построена только одна сторона $AC$.

[Ivan_B]

wrest в сообщении #1277275 писал(а):

Как можно продлить неизвестную сторону на известную разность, если неизвестная сторона неизвестна?

Это описание еще не построенного треугольника. Я его не строю. Я хочу построить его угол (два луча из одной точки)

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1277264 писал(а):

Если продлить меньшую сторону на известную разность, получим равнобедренный треугольник, в котором известен угол, противолежащий основанию.

Вы полагаете, что этот треугольник будет вписан в ту же окружность? Почему?

[wrest]

Ivan_B в сообщении #1277272 писал(а):

На вашем чертеже нужно продлить $DC$ до $DC'$,

Точка $D$ на чертеже показана для справки. Её надо построить, в этом заключается вопрос задачи.

Ivan_B в сообщении #1277272 писал(а):

чтобы $ADC'$ был равнобедренным. Угол этого треугольника я хочу построить. Сам треугольник сразу построить невозможно.

Какой угол "этого треугольника" -- у треугольников три угла...
Если вас интересует угол $ADC$ будущего треугольника, то вы можете выбрать любую точку $D'$ на описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности между точками $A$ и $C$ с другой от точки $B$ стороны, и угол $AD'C$ будет равен углу $ADC$ т.к. будет опираться на ту же дугу $AC$:

$\angle AD'C=\angle AD''C=\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$
Да, ну и кроме того, вы можете продлить сторону $AB$ или $BC$ и построить угол $180^\circ - \angle ABC$ там.

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1277278 писал(а):

Вы полагаете, что этот треугольник будет вписан в ту же окружность?

Не будет.
Я его построю только к концу решения. Отдельно. Я не делаю построений на основном чертеже вообще.

wrest в сообщении #1277279 писал(а):

Какой угол "этого треугольника" -- у треугольников три угла...

Ivan_B в сообщении #1277264 писал(а):

Если продлить меньшую сторону на известную разность, получим равнобедренный треугольник, в котором известен угол, противолежащий основанию.
Значит можно построить угол у основания этого треугольника.

То есть отдельно от основного чертежа провести два луча из одной точки так, чтобы угол между ними был равен углу треугольника, который нарисован, как вы сказали, "для справки"

Я строю детали из которых потом построю искомый треугольник: угол, сторону, вторая сторона дана по условию. Затем я построю треугольник по углу и двум сторонам, отдельно от основного чертежа. В построенном треугольнике одна из сторон - искомая сторона четырехугольника.

[wrest]

Ivan_B в сообщении #1277285 писал(а):

То есть отдельно от основного чертежа провести два луча из одной точки так, чтобы угол между ними был равен углу треугольника, который нарисован, как вы сказали, "для справки"

А, ну это без проблем -- я вам выше нарисовал таких аж четыре :)

-- 21.12.2017, 18:20 --

Ivan_B в сообщении #1277285 писал(а):

Я его построю только к концу решения. Отдельно. Я не делаю построений на основном чертеже вообще.

Вы кстати понимаете, что весь треугольник строить необязательно? Достаточно построить одну из сторон, равную по длине $AD$ или $CD$

[grizzly]

Ivan_B
Да, я понял. Похоже, всё получается.

-- 21.12.2017, 18:31 --

Я объясню обратным путём.

Мы можем построить некий треугольник $ACM$, у которого даны стороны $AC$ и $CM=AD-DC$ (upd. правильно $CM=DC-AD$) и угол $M$, который равен $\pi/2+D/2$. К стороне $AM$ проведём срединный перпендикуляр до пересечения в т.$D$ с продолжением $CM$. Теперь можно доказать, что треугольник $ADC$ -- искомый.

Ivan_B
Такая идея? Я сам нигде не ошибся?

[Ivan_B]

wrest в сообщении #1277288 писал(а):

А, ну это без проблем -- я вам выше нарисовал таких аж четыре :)

Нет. Мне нужны не Ваши углы а тот, который равен $(180^\circ - \angle ADC)/2$. Как построить копию угла, отнять угол от $180^\circ$, и затем построить его биссектрису я опустил.

grizzly в сообщении #1277292 писал(а):

Да, я понял. Похоже, всё получается.

Рад, если мое решение оказалось верным! Знать бы еще как излагать свои мысли более четко... Стараюсь изо всех сил.

[wrest]

Ivan_B в сообщении #1277299 писал(а):

Мне нужны не Ваши углы а тот, который равен $(180\circ - \angle ADC)/2$.

Так ведь $180^\circ - \angle ADC=\angle ABC$ т.е. вам нужна половина угла $\angle ABC$?

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1277299 писал(а):

Знать бы еще как излагать свои мысли более четко...

Здесь без чертежа сложно излагать прозрачно. Посмотрите всё же моё решение -- я добавил выше -- там 3 строчки. Надеюсь, у меня получилось чуть понятнее :)

Попробуйте научиться вставлять рисунки в сообщение -- это несложно (если что, я объясню в ЛС). И будет полезно освоить какой-то графический пакет. Я, например, рисую в GeoGebra.org.

[Ivan_B]

wrest в сообщении #1277304 писал(а):

Так ведь $180^\circ - \angle ADC=\angle ABC$ т.е. вам нужна половина угла $\angle ABC$?

Да, но если опустить все, что я написал, будет еще менее понятно почему и зачем она мне нужна.

grizzly в сообщении #1277292 писал(а):

К стороне $AM$ проведём срединный перпендикуляр до пересечения в т.$D$ с продолжением $CM$. Теперь можно доказать, что треугольник $ADC$ -- искомый.

Ваше решение я понял. Оно мне кажется верным.
Я делал чуть иначе: После того как треугольник $ACM$ построен, можно построить треугольник(отдельно), который будет равен треугольнику $ADM$ (тот самый, который получается после продления еще не построенной стороны) по стороне и двум углам. Это даст отрезок длина которого равна $AD$. После этого можно вернуться к чертежу из задачи, имея длину третьей стороны искомого четырехугольника.

grizzly в сообщении #1277306 писал(а):

Я, например, рисую в GeoGebra.org

Посмотрю. Я пока таких красивых чертежей делать не умею.

grizzly в сообщении #1277306 писал(а):

если что, я объясню в ЛС

Спасибо! Если разобраться не получится, обязательно спрошу.

[wrest]

grizzly в сообщении #1277292 писал(а):

Мы можем построить некий треугольник $ACM$, у которого даны стороны $AC$ и $CM=AD-DC$ и угол $M$, который равен $\pi/2+D/2$. К стороне $AM$ проведём срединный перпендикуляр до пересечения в т.$D$ с продолжением $CM$. Теперь можно доказать, что треугольник $ADC$ -- искомый.

Там точно знак плюс в "угол $M$, который равен $\pi/2+D/2$"?

-- 21.12.2017, 19:09 --

grizzly в сообщении #1277306 писал(а):

И будет полезно освоить какой-то графический пакет. Я, например, рисую в GeoGebra.org.

А можете поясняющий рисунок запостить?