Напряженность эл поля двух элементарных излучателей

[dmitry4xy]

Здравствуйте. Нам необходимо получить выражение для напряженности электрического поля двух идентичных элементарных излучателей, расположенных параллельно друг другу на расстоянии $d$ друг от друга, если $r >> d; r >> \lambda$.

Как я понял из условия, речь идет о дальней зоне. В дальней зоне имеется только одна составляющая электрического поля $E_{\theta}=j\frac{kI_{0}\Delta l}{4\pi}W_{0}\frac{e^{-jkr}}{r}\sin\theta$



Преподаватель посоветовал решить задачу для случая $a=0$, т.е. соосные излучатели, а дальше переходить к начальной задаче.



$r_{1}$ и $r_{2}$ нашел по теореме косинусов:
$r_{1}=\sqrt{r^{2}+(\frac{d}{2})^{2}-rd\cos\theta}$
$r_{2}=\sqrt{r^{2}+(\frac{d}{2})^{2}-rd\cos(\pi-\theta)}$

Для дальней зоны можно сказать, что
$r_{1}=r(1-\frac{d}{2r}\cos\theta)$
$r_{2}=r(1+\frac{d}{2r}\cos\theta)$
$\theta_{1}=\theta_{2}=\theta$

И в принципе, как я понял, можно записать суперпозицию полей и подставить полученные значения.

Возвращаясь к первоначальной задаче.
Верно ли, что расстояния у нас останутся такими же, однако надо будет учесть, что в данном $\theta\ne\theta_{1,2}$, и записать $\theta_{1,2}$ в явном виде в выражении для суммарной напряженности поля. Как учесть зависимость от $a$?

[Alex-Yu]

dmitry4xy в сообщении #1277168 писал(а):

Возвращаясь к первоначальной задаче.

А чем вторая картинка отличается от первой? Кроме того, что диполи повернуты относительно линии, их соединяющей. Да как-то больше и ничем. Угол только от другого направления отсчитывается.

-- Чт дек 21, 2017 20:04:16 --

dmitry4xy в сообщении #1277168 писал(а):

однако надо будет учесть, что в данном $\theta\ne\theta_{1,2}$

Не надо. И отличие $r_1$ и $r_2$ от $r$ нужно учесть только в показателе экспоненты. В знаменателе можно не учитывать, а тогда формулы очень хорошо упрощаются.

[Cryo]

Может быть я чего-то не понимаю, но разве не легче работать в векторной нотации?

Начнём с одного диполя ($\boldsymbol{p}$) в точке $\boldsymbol{r}_1$. Электрическое поле от этого диполя, в точке $\boldsymbol{r}$, будет ( в пределе $R_1\to\infty$):

$\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}\right)=k^2\left(\left(\boldsymbol{\hat{R}}_1\times \boldsymbol{p} \right) \times \boldsymbol{\hat{R}}_1 \right)\frac{\exp\left(-ikR_1\right)}{R_1}$

где $\boldsymbol{R}_1=R_1\boldsymbol{\hat{R}}_1=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_1,\quad \boldsymbol{\hat{R}}_1.\boldsymbol{\hat{R}}_1=1$

для двух диполей тогда:


$\boldsymbol{E}_{1+2}\left(\boldsymbol{r}\right)=k^2\left(\left(\left(\boldsymbol{\hat{R}}_1\times \boldsymbol{p} \right) \times \boldsymbol{\hat{R}}_1 \right)\frac{\exp\left(-ikR_1\right)}{R_1}+\left(\left(\boldsymbol{\hat{R}}_2\times \boldsymbol{p} \right) \times \boldsymbol{\hat{R}}_2 \right)\frac{\exp\left(-ikR_2\right)}{R_2}\right)$

Теперь если хотите, подставьте

$\boldsymbol{p}=p\boldsymbol{\hat{z}}$,

$\boldsymbol{r}_1=+\frac{b}{2}\boldsymbol{\hat{z}}-\frac{a}{2}\boldsymbol{\hat{x}}$

$\boldsymbol{r}_2=-\frac{b}{2}\boldsymbol{\hat{z}}+\frac{a}{2}\boldsymbol{\hat{x}}$

$\boldsymbol{\hat{\theta}}=-\sin\theta\boldsymbol{\hat{x}}+\cos\theta\boldsymbol{\hat{z}}$

$E_\theta=\boldsymbol{E}_{1+2}.\boldsymbol{\hat{\theta}}$

Вот и всё


Осталось только привязать вашу $I_0$ к моменту диполя $p$, но это несложно (а для диаграммы рассеиния и не важно)

Здесь конечно надо удерживать все верктора на $xz$-поверхности

[Alex-Yu]

Cryo в сообщении #1277247 писал(а):

но разве не легче работать в векторной нотации?

Не легче. Не уводите ТС в ненужную сторону. Задача НАМНОГО проще, чем Вы тут написали, использовав возможную, но ненужную в данном случае векторную нотацию.

[Cryo]

Alex-Yu в сообщении #1277253 писал(а):

Не легче. Не уводите ТС в ненужную сторону. Задача НАМНОГО проще, чем Вы тут написали, использовав возможную, но ненужную в данном случае векторную нотацию.

Ладно, не буду, Вам виднее, но всё же замечу что задача гораздо проще для Вас, так как Вы знаете полное решение и при каких условиях полное решение упрощается до формулы используемой TC. А TC, возможно, не знает. В таком случае TC проследует вашим инструкциям

Alex-Yu в сообщении #1277241 писал(а):

Не надо. И отличие $r_1$ и $r_2$ от $r$ нужно учесть только в показателе экспоненты. В знаменателе можно не учитывать, а тогда формулы очень хорошо упрощаются.

не понимая почему так можно делать, но в следующий раз у TC будут такие же вопросы

[Alex-Yu]

dmitry4xy в сообщении #1277168 писал(а):

Возвращаясь к первоначальной задаче.

Надо лишь учесть, что угол, стоящий в синусе в выражении для одного диполя теперь другой, не $\theta$. Причем этот угол легко выразить через $\theta$ и $\arccos b/d $ (или $\arcsin a/d$).